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奇異值分解(Singular Value Decomposition，以下簡稱SVD)是在機器學習領域廣泛應用的算法，它不光可以用于降維算法中的特征分解，還可以用于推薦系統，以及自然語言處理等領域。是很多機器學習算法的基石。本文就對SVD的原理做一個總結，并討論在在PCA降維算法中是如何運用運用SVD的。

1. 回顧特征值和特征向量

　　　　我們首先回顧下特征值和特征向量的定義如下：

Ax=λxAx=λx

其中A是一個n×nn×n的矩陣，xx是一個nn維向量，則我們說λλ是矩陣A的一個特征值，而xx是矩陣A的特征值λλ所對應的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好處呢？ 就是我們可以將矩陣A特征分解。如果我們求出了矩陣A的nn個特征值λ1≤λ2≤...≤λnλ1≤λ2≤...≤λn,以及這nn個特征值所對應的特征向量{w1,w2,...wn}{w1,w2,...wn}，那么矩陣A就可以用下式的特征分解表示：

A=WΣW?1A=WΣW?1

其中W是這nn個特征向量所張成的n×nn×n維矩陣，而ΣΣ為這n個特征值為主對角線的n×nn×n維矩陣。

一般我們會把W的這nn個特征向量標準化，即滿足||wi||2=1||wi||2=1, 或者說wTiwi=1wiTwi=1，此時W的nn個特征向量為標準正交基，滿足WTW=IWTW=I，即WT=W?1WT=W?1, 也就是說W為酉矩陣。

　　　　這樣我們的特征分解表達式可以寫成

A=WΣWTA=WΣWT

　　　　注意到要進行特征分解，矩陣A必須為方陣。那么如果A不是方陣，即行和列不相同時，我們還可以對矩陣進行分解嗎？答案是可以，此時我們的SVD登場了。

2. ?SVD的定義

SVD也是對矩陣進行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩陣為方陣。假設我們的矩陣A是一個m×nm×n的矩陣，那么我們定義矩陣A的SVD為：

A=UΣVTA=UΣVT

其中U是一個m×mm×m的矩陣，ΣΣ是一個m×nm×n的矩陣，除了主對角線上的元素以外全為0，主對角線上的每個元素都稱為奇異值，V是一個n×nn×n的矩陣。U和V都是酉矩陣，即滿足UTU=I,VTV=IUTU=I,VTV=I。下圖可以很形象的看出上面SVD的定義：

那么我們如何求出SVD分解后的U,Σ,VU,Σ,V這三個矩陣呢？

如果我們將A的轉置和A做矩陣乘法，那么會得到n×nn×n的一個方陣ATAATA。既然ATAATA是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：

(ATA)vi=λivi(ATA)vi=λivi

這樣我們就可以得到矩陣ATAATA的n個特征值和對應的n個特征向量vv了。將ATAATA的所有特征向量張成一個n×nn×n的矩陣V，就是我們SVD公式里面的V矩陣了。一般我們將V中的每個特征向量叫做A的右奇異向量。

如果我們將A和A的轉置做矩陣乘法，那么會得到m×mm×m的一個方陣AATAAT。既然AATAAT是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：

(AAT)ui=λiui(AAT)ui=λiui

這樣我們就可以得到矩陣AATAAT的m個特征值和對應的m個特征向量uu了。將AATAAT的所有特征向量張成一個m×mm×m的矩陣U，就是我們SVD公式里面的U矩陣了。一般我們將U中的每個特征向量叫做A的左奇異向量。

U和V我們都求出來了，現在就剩下奇異值矩陣ΣΣ沒有求出了。由于ΣΣ除了對角線上是奇異值其他位置都是0，那我們只需要求出每個奇異值σσ就可以了。

　　　　我們注意到:

A=UΣVT?AV=UΣVTV?AV=UΣ?Avi=σiui?σi=Avi/uiA=UΣVT?AV=UΣVTV?AV=UΣ?Avi=σiui?σi=Avi/ui

這樣我們可以求出我們的每個奇異值，進而求出奇異值矩陣ΣΣ。

上面還有一個問題沒有講，就是我們說ATAATA的特征向量組成的就是我們SVD中的V矩陣，而AATAAT的特征向量組成的就是我們SVD中的U矩陣，這有什么根據嗎？這個其實很容易證明，我們以V矩陣的證明為例。

A=UΣVT?AT=VΣUT?ATA=VΣUTUΣVT=VΣ2VTA=UΣVT?AT=VΣUT?ATA=VΣUTUΣVT=VΣ2VT

上式證明使用了:UTU=I,ΣT=Σ。UTU=I,ΣT=Σ。可以看出ATAATA的特征向量組成的的確就是我們SVD中的V矩陣。類似的方法可以得到AATAAT的特征向量組成的就是我們SVD中的U矩陣。

　　　　進一步我們還可以看出我們的特征值矩陣等于奇異值矩陣的平方，也就是說特征值和奇異值滿足如下關系：

σi=λi??√σi=λi

這樣也就是說，我們可以不用σi=Avi/uiσi=Avi/ui來計算奇異值，也可以通過求出ATAATA的特征值取平方根來求奇異值。

3. SVD計算舉例

　　　　這里我們用一個簡單的例子來說明矩陣是如何進行奇異值分解的。我們的矩陣A定義為：

A=???011110???A=(011110)

我們首先求出ATAATA和AATAAT

ATA=(011110)???011110???=(2112)ATA=(011110)(011110)=(2112)

AAT=???011110???(011110)=???110121011???AAT=(011110)(011110)=(110121011)

進而求出ATAATA的特征值和特征向量：

λ1=3;v1=(1/2–√1/2–√);λ2=1;v2=(?1/2–√1/2–√)λ1=3;v1=(1/21/2);λ2=1;v2=(?1/21/2)

接著求AATAAT的特征值和特征向量：

λ1=3;u1=???1/6–√2/6–√1/6–√???;λ2=1;u2=???1/2–√0?1/2–√???;λ3=0;u3=???1/3–√?1/3–√1/3–√???λ1=3;u1=(1/62/61/6);λ2=1;u2=(1/20?1/2);λ3=0;u3=(1/3?1/31/3)

利用Avi=σiui,i=1,2Avi=σiui,i=1,2求奇異值：

???011110???(1/2–√1/2–√)=σ1???1/6–√2/6–√1/6–√????σ1=3–√(011110)(1/21/2)=σ1(1/62/61/6)?σ1=3

???011110???(?1/2–√1/2–√)=σ2???1/2–√0?1/2–√????σ2=1(011110)(?1/21/2)=σ2(1/20?1/2)?σ2=1

當然，我們也可以用σi=λi??√σi=λi直接求出奇異值為3–√3和1.

?最終得到A的奇異值分解為：

A=UΣVT=???1/6–√2/6–√1/6–√1/2–√0?1/2–√1/3–√?1/3–√1/3–√??????3–√00010???(1/2–√?1/2–√1/2–√1/2–√)A=UΣVT=(1/61/21/32/60?1/31/6?1/21/3)(300100)(1/21/2?1/21/2)

4. SVD的一些性質

　　　　上面幾節我們對SVD的定義和計算做了詳細的描述，似乎看不出我們費這么大的力氣做SVD有什么好處。那么SVD有什么重要的性質值得我們注意呢？

　　　　對于奇異值,它跟我們特征分解中的特征值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上的比例。也就是說，我們也可以用最大的k個的奇異值和對應的左右奇異向量來近似描述矩陣。也就是說：

Am×n=Um×mΣm×nVTn×n≈Um×kΣk×kVTk×nAm×n=Um×mΣm×nVn×nT≈Um×kΣk×kVk×nT

其中k要比n小很多，也就是一個大的矩陣A可以用三個小的矩陣Um×k,Σk×k,VTk×nUm×k,Σk×k,Vk×nT來表示。如下圖所示，現在我們的矩陣A只需要灰色的部分的三個小矩陣就可以近似描述了。

　　　　由于這個重要的性質，SVD可以用于PCA降維，來做數據壓縮和去噪。也可以用于推薦算法，將用戶和喜好對應的矩陣做特征分解，進而得到隱含的用戶需求來做推薦。同時也可以用于NLP中的算法，比如潛在語義索引（LSI）。下面我們就對SVD用于PCA降維做一個介紹。

5. SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理總結中，我們講到要用PCA降維，需要找到樣本協方差矩陣XTXXTX的最大的d個特征向量，然后用這最大的d個特征向量張成的矩陣來做低維投影降維。可以看出，在這個過程中需要先求出協方差矩陣XTXXTX，當樣本數多樣本特征數也多的時候，這個計算量是很大的。

注意到我們的SVD也可以得到協方差矩陣XTXXTX最大的d個特征向量張成的矩陣，但是SVD有個好處，有一些SVD的實現算法可以不求先求出協方差矩陣XTXXTX，也能求出我們的右奇異矩陣VV。也就是說，我們的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD來完成。這個方法在樣本量很大的時候很有效。實際上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的實現就是用的SVD，而不是我們我們認為的暴力特征分解。

　　　　另一方面，注意到PCA僅僅使用了我們SVD的右奇異矩陣，沒有使用左奇異矩陣，那么左奇異矩陣有什么用呢？

假設我們的樣本是m×nm×n的矩陣X，如果我們通過SVD找到了矩陣XXTXXT最大的d個特征向量張成的m×dm×d維矩陣U，則我們如果進行如下處理：

X′d×n=UTd×mXm×nXd×n′=Ud×mTXm×n

可以得到一個d×nd×n的矩陣X‘,這個矩陣和我們原來的m×nm×n維樣本矩陣X相比，行數從m減到了k，可見對行數進行了壓縮。也就是說，左奇異矩陣可以用于行數的壓縮。相對的，右奇異矩陣可以用于列數即特征維度的壓縮，也就是我們的PCA降維。

6. SVD小結

　　　　SVD作為一個很基本的算法，在很多機器學習算法中都有它的身影，特別是在現在的大數據時代，由于SVD可以實現并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不難，只要有基本的線性代數知識就可以理解，實現也很簡單因此值得仔細的研究。當然，SVD的缺點是分解出的矩陣解釋性往往不強，有點黑盒子的味道，不過這不影響它的使用。