Smooth L1 Loss

1. L1 Loss:

L1(y,f(x))=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-y_i| \tag{1}
x=f(x_i)-y_i,忽略求和及系數(shù),則有L1(x)=|x|,其導(dǎo)數(shù)為
\frac{\partial L1}{\partial x}=\pm 1, x \ne 0 \tag{2}
隨機梯度下降法更新權(quán)重為:
\begin{aligned} w&=w-\lambda \frac{\partial L}{\partial x} \\ &=w \pm \lambda \end{aligned} \tag{3}
其中\lambda是學(xué)習(xí)率。由此可知,不管預(yù)測值f(x)和真實值y的差值大小x如何變化,反向傳播時其梯度不變。除非調(diào)整學(xué)習(xí)率大小,不然每次權(quán)重更新的幅度不變。

理想中的梯度變化應(yīng)該是:訓(xùn)練初期x值較大,則梯度也大,可以加快模型收斂;訓(xùn)練后期x值較小,梯度也應(yīng)小,使模型收斂到全局(或局部)極小值。

L1 Loss 優(yōu)點:梯度值穩(wěn)定,使得訓(xùn)練平穩(wěn);不易受離群點(臟數(shù)據(jù))影響,所有數(shù)據(jù)一視同仁。
L1 Loss 缺點x=0處不可導(dǎo),可能影響收斂;x值小時梯度大,很難收斂到極小值(除非在x值小時調(diào)小學(xué)習(xí)率,以較小更新幅度)。

圖1 LI Loss

2. L2 Loss

L2(y,f(x))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(f(x_i)-y_i)^2 \tag{4}
x=f(x_i)-y_i,忽略求和及系數(shù),則有L1(x)=x^2,其導(dǎo)數(shù)為
\frac{\partial L2}{\partial x}=2x \tag{5}
可知,對于L2 Loss來說,預(yù)測值和真實值的差值x越大,梯度越大;x越小,則梯度值越小。

L2 Loss 優(yōu)點:平滑可導(dǎo);x較大時梯度大,收斂快;x較小時梯度小,容易收斂至極值點。
L2 Loss 缺點:訓(xùn)練初期x較大導(dǎo)致梯度大,更新幅度太大使得訓(xùn)練不穩(wěn)定,容易出現(xiàn)梯度爆炸現(xiàn)象;受離群點(臟數(shù)據(jù))影響大,容易在離群點的干擾下大幅更新,使擬合函數(shù)偏向離群點而導(dǎo)致準(zhǔn)確率低。

圖2 L2 Loss

3. Smooth L1 Loss

SL1(x)= \begin{cases} 0.5x^2 & if \quad |x|<1\\ |x|-0.5 & otherwise \end{cases} \tag{6}
從上式可知Smooth L1 Loss 是一個分段函數(shù),它綜合了 L1 Loss 和 L2 Loss 兩個損失函數(shù)的優(yōu)點,即在x較小時采用平滑地 L2 Loss,在x較大時采用穩(wěn)定的 L1 Loss。

公式(6)衡量x的較大和較小的分界線是x=1,當(dāng)然也可以采用其它值來做這個臨界點。設(shè)\delta作為衡量預(yù)測值和真實值的差值x的閾值,則公式(6)變?yōu)楦话愕男问剑?br> SL1(x)= \begin{cases} 0.5(\delta x)^2 & if\quad |x|<\frac{1}{\delta^2} \\ |x|-\frac{0.5}{\delta^2} & otherwise \end{cases}

圖 3 Smooth L1 Loss

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