一般來(lái)講，我們很熟悉序列的操作，對(duì)于樹(shù)上路徑的操作會(huì)覺(jué)得比較棘手。而樹(shù)鏈剖分基本思想，是將樹(shù)上的路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為序列操作問(wèn)題。

樹(shù)鏈剖分，簡(jiǎn)單來(lái)講即將一棵樹(shù)劃分為若干條鏈，然后用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)去維護(hù)每一條鏈。

常見(jiàn)的樹(shù)鏈剖分方法為輕/重劃分。

相關(guān)概念

1.對(duì)于一棵樹(shù)，假設(shè)size(u)代表以u(píng)為根的子樹(shù)上的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，u的兒子節(jié)點(diǎn)為v1,v2,…假設(shè)其中size(vi)是其中最大的，我們稱(chēng)vi為u的重兒子，其余vj為u的輕兒子。

2.那么u和vi相連的邊為重邊，u和其余兒子節(jié)點(diǎn)相連的邊為輕邊。

3.由重邊鏈接起來(lái)的路徑為重鏈（一個(gè)點(diǎn)也算一條重鏈），由輕邊鏈接起來(lái)的路徑為輕鏈。

如下圖，重邊黑色顯示，其余邊為輕邊。1-2-5-7為重鏈，1-3,2-4為輕鏈。

圖1

相關(guān)性質(zhì)

1.如果(u,v)為輕邊，則size(v)<=size(u)/2.

證明：反證法，如果size(v)>size(u)/2，那么v應(yīng)該為重兒子，(u,v)應(yīng)該為重邊。

2.從根到某一點(diǎn)v的路徑上的輕邊條數(shù)不多于O(logn).

證明：首先，到達(dá)某個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的輕邊數(shù)量應(yīng)該是最多的，由性質(zhì)1可知，路徑上每經(jīng)過(guò)一條輕邊(u,v)，u子樹(shù)上的節(jié)點(diǎn)就減少一半。

3.每個(gè)點(diǎn)到根上的路徑都有不超過(guò)logn條輕邊和logn條（重鏈）重路徑。

證明：根據(jù)性質(zhì)2，每個(gè)點(diǎn)到根的路徑一定不會(huì)有超過(guò)logn條輕邊，觀察圖可以發(fā)現(xiàn)，每一條輕邊的兩個(gè)端點(diǎn)一定包含在某兩條重鏈之中，那么重鏈數(shù)量也在logn級(jí)別。

輕/重鏈劃分的作用體現(xiàn)？

如果我們對(duì)這棵樹(shù)進(jìn)行dfs，優(yōu)先訪問(wèn)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的重兒子，并按照每個(gè)節(jié)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)時(shí)間為其蓋上時(shí)間戳。如下圖：

圖2

我們可以觀察到兩個(gè)特征：

（1）一條重鏈上的節(jié)點(diǎn)其時(shí)間戳是連續(xù)的。例如重鏈1-2-5-7時(shí)間戳是1,2,3,4

（2）一條輕邊上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)一定包含在兩條重鏈中。例如輕邊1-3，節(jié)點(diǎn)分別包含于重鏈1-2-5-7和重鏈3-6中。

現(xiàn)在假設(shè)需要對(duì)任意兩點(diǎn)u、v之間的路徑進(jìn)行處理，例如，我們需要將u、v路徑上所有節(jié)點(diǎn)權(quán)值求和。我們可以分別處理u-lca(u,v),v-lca(u,v)，根據(jù)性質(zhì)3，路徑最多分為logn條重鏈和輕邊。u-v上的所有節(jié)點(diǎn)包含于其中。

（1）對(duì)于重鏈，由于其時(shí)間戳連續(xù)，相當(dāng)于一個(gè)序列，可以用線段樹(shù)（或其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）維護(hù)。

（2）對(duì)于輕邊，可以跳過(guò)，因?yàn)檩p邊的兩個(gè)端點(diǎn)包含在2條重鏈之中。

如何實(shí)現(xiàn)輕/重鏈劃分？

我們需要維護(hù)以下信息：

（1）size[x]:以x為根的子樹(shù)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

（2）son[x]:以x為根的子樹(shù)，x的重兒子。

（3）father[x]:x節(jié)點(diǎn)的父親

（4）deep[x]:x節(jié)點(diǎn)的深度

（5）top[x]:x節(jié)點(diǎn)所在重鏈的起始節(jié)點(diǎn)。

（6）id[x]:x節(jié)點(diǎn)的訪問(wèn)次序（優(yōu)先訪問(wèn)重兒子），代表了其在線段樹(shù)中的位置

（7）s[i]:線段樹(shù)中位置[i,i]的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)樹(shù)中哪個(gè)節(jié)點(diǎn)。s[id[x]]=x.

我們可以通過(guò)兩次dfs完成上述信息的維護(hù)，參考代碼如下：

圖3

第1次dfs結(jié)束維護(hù)信息如下圖：

圖4

圖5

第2次dfs結(jié)束維護(hù)信息如下圖：

圖6

如何尋找u、v的lca?

（1）如果top[u]=top[v]，說(shuō)明u，v在一條重鏈上，那么lca(u,v)為u、v深度較小的點(diǎn)。假設(shè)深度較小的點(diǎn)是u，u到v路徑對(duì)應(yīng)了線段樹(shù)上的一段區(qū)間[id[u],id[v]]。

（2）如果top[u]!=top[v]，說(shuō)明u、v在不同重鏈上，他們的lca可能在其中一條重鏈上，也可能在其它重鏈上。假設(shè)top[u]深度>top[v]，那么lca(u,v)一定不會(huì)在top[u]上，u可以跳轉(zhuǎn)到father[top[u]]，跳過(guò)的這一段重鏈對(duì)應(yīng)了線段樹(shù)上的一段區(qū)間[id[top[u]],id[u]]；u、v交替跳轉(zhuǎn)最終如果top[u]==top[v]，回到（1），問(wèn)題得解。

參考代碼如下，函數(shù)ask詢(xún)問(wèn)u、v兩點(diǎn)路徑上節(jié)點(diǎn)的權(quán)值和，query函數(shù)是查詢(xún)線段樹(shù)的區(qū)間和，線段樹(shù)部分此處省略。

圖7

參考練習(xí)題目：

ybt1560-1564