公鑰密碼系統(tǒng)及RSA公鑰算法

本文簡單介紹了公開密鑰密碼系統(tǒng)的思想和特點(diǎn)，并具體介紹了RSA算法的理論基礎(chǔ)，工作原理和具體實(shí)現(xiàn)過程，并通過一個(gè)簡單例子說明了該算法是如何實(shí)現(xiàn)。在本文的最后，概括說明了RSA算法目前存在的一些缺點(diǎn)和解決方法。

關(guān)鍵詞：公鑰密碼體制 ， 公鑰 ，私鑰 ，RSA

§1引言

隨著計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)的逐步實(shí)現(xiàn)，Internet前景越來越美好，全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展正在進(jìn)入信息經(jīng)濟(jì)時(shí)代，知識(shí)經(jīng)濟(jì)初見端倪。計(jì)算機(jī)信息的保密問題顯得越來越重要，無論是個(gè)人信息通信還是電子商務(wù)發(fā)展，都迫切需要保證Internet網(wǎng)上信息傳輸?shù)陌踩枰ＷC信息安全。信息安全技術(shù)是一門綜合學(xué)科，它涉及信息論、計(jì)算機(jī)科學(xué)和密碼學(xué)等多方面知識(shí)，它的主要任務(wù)是研究計(jì)算機(jī)系統(tǒng)和通信網(wǎng)絡(luò)內(nèi)信息的保護(hù)方法以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)信息的安全、保密、真實(shí)和完整。其中，信息安全的核心是密碼技術(shù)。密碼技術(shù)是集數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子與通信等諸多學(xué)科于一身的交叉學(xué)科。它不僅能夠保證機(jī)密性信息的加密，而且能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)字簽名、身份驗(yàn)證、系統(tǒng)安全等功能。是現(xiàn)代化發(fā)展的重要科學(xué)之一。本文將對公鑰密碼系統(tǒng)及該系統(tǒng)中目前最廣泛流行的RSA算法做一些簡單介紹。

§2公鑰密碼系統(tǒng)

要說明公鑰密碼系統(tǒng)，首先來了解一下不同的加密算法：目前的加密算法按密鑰方式可分為單鑰密碼算法和公鑰密碼算法。

2.1.單鑰密碼

又稱對稱式密碼，是一種比較傳統(tǒng)的加密方式，其加密運(yùn)算、解密運(yùn)算使用的是同樣的密鑰，信息的發(fā)送者和信息的接收者在進(jìn)行信息的傳輸與處理時(shí)，必須共同持有該密碼（稱為對稱密碼）。因此，通信雙方都必須獲得這把鑰匙，并保持鑰匙的秘密。

單鑰密碼系統(tǒng)的安全性依賴于以下兩個(gè)因素：第一，加密算法必須是足夠強(qiáng)的，僅僅基于密文本身去解密信息在實(shí)踐上是不可能的；第二，加密方法的安全性依賴于密鑰的秘密性，而不是算法的秘密性，因此，我們沒有必要確保算法的秘密性（事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中使用的很多單鑰密碼系統(tǒng)的算法都是公開的），但是我們一定要保證密鑰的秘密性。

從單鑰密碼的這些特點(diǎn)我們?nèi)菀卓闯鏊闹饕獑栴}有兩點(diǎn)：第一，密鑰量問題。在單鑰密碼系統(tǒng)中，每一對通信者就需要一對密鑰，當(dāng)用戶增加時(shí)，必然會(huì)帶來密鑰量的成倍增長，因此在網(wǎng)絡(luò)通信中，大量密鑰的產(chǎn)生﹑存放和分配將是一個(gè)難以解決的問題。第二，密鑰分發(fā)問題。單鑰密碼系統(tǒng)中，加密的安全性完全依賴于對密鑰的保護(hù)，但是由于通信雙方使用的是相同的密鑰，人們又不得不相互交流密鑰，所以為了保證安全，人們必須使用一些另外的安全信道來分發(fā)密鑰，例如用專門的信使來傳送密鑰，這種做法的代價(jià)是相當(dāng)大的，甚至可以說是非常不現(xiàn)實(shí)的，尤其在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，人們使用網(wǎng)絡(luò)傳送加密的文件，卻需要另外的安全信道來分發(fā)密鑰，顯而易見，這是非常不智是甚至是荒謬可笑的。

2.2公鑰密碼

正因?yàn)閱舞€密碼系統(tǒng)存在如此難以解決的缺點(diǎn)，發(fā)展一種新的﹑更有效﹑更先進(jìn)的密碼體制顯得更為迫切和必要。在這種情況下，出現(xiàn)了一種新的公鑰密碼體制，它突破性地解決了困擾著無數(shù)科學(xué)家的密鑰分發(fā)問題，事實(shí)上，在這種體制中，人們甚至不用分發(fā)需要嚴(yán)格保密的密鑰，這次突破同時(shí)也被認(rèn)為是密碼史上兩千年來自單碼替代密碼發(fā)明以后最偉大的成就。

這一全新的思想是本世紀(jì)70年代，美國斯坦福大學(xué)的兩名學(xué)者Diffie和Hellman提出的，該體制與單鑰密碼最大的不同是：

在公鑰密碼系統(tǒng)中，加密和解密使用的是不同的密鑰（相對于對稱密鑰，人們把它叫做非對稱密鑰），這兩個(gè)密鑰之間存在著相互依存關(guān)系：即用其中任一個(gè)密鑰加密的信息只能用另一個(gè)密鑰進(jìn)行解密。這使得通信雙方無需事先交換密鑰就可進(jìn)行保密通信。其中加密密鑰和算法是對外公開的，人人都可以通過這個(gè)密鑰加密文件然后發(fā)給收信者，這個(gè)加密密鑰又稱為公鑰；而收信者收到加密文件后,它可以使用他的解密密鑰解密，這個(gè)密鑰是由他自己私人掌管的，并不需要分發(fā)，因此又成稱為私鑰，這就解決了密鑰分發(fā)的問題。

為了說明這一思想,我們可以考慮如下的類比：

兩個(gè)在不安全信道中通信的人，假設(shè)為Alice（收信者）和Bob（發(fā)信者），他們希望能夠安全的通信而不被他們的敵手Oscar破壞。Alice想到了一種辦法，她使用了一種鎖（相當(dāng)于公鑰），這種鎖任何人只要輕輕一按就可以鎖上，但是只有Alice的鑰匙（相當(dāng)于私鑰）才能夠打開。然后Alice對外發(fā)送無數(shù)把這樣的鎖，任何人比如Bob想給她寄信時(shí)，只需找到一個(gè)箱子，然后用一把Alice的鎖將其鎖上再寄給Alice，這時(shí)候任何人（包括Bob自己）除了擁有鑰匙的Alice，都不能再打開箱子，這樣即使Oscar能找到Alice的鎖，即使Oscar能在通信過程中截獲這個(gè)箱子，沒有Alice的鑰匙他也不可能打開箱子，而Alice的鑰匙并不需要分發(fā)，這樣Oscar也就無法得到這把“私人密鑰”。

從以上的介紹可以看出，公鑰密碼體制的思想并不復(fù)雜，而實(shí)現(xiàn)它的關(guān)鍵問題是如何確定公鑰和私鑰及加/解密的算法，也就是說如何找到“Alice的鎖和鑰匙”的問題。我們假設(shè)在這種體制中, PK是公開信息，用作加密密鑰，而SK需要由用戶自己保密，用作解密密鑰。加密算法E和解密算法D也都是公開的。雖然SK與PK是成對出現(xiàn)，但卻不能根據(jù)PK計(jì)算出SK。它們須滿足條件：

①加密密鑰PK對明文X加密后，再用解密密鑰SK解密，即可恢復(fù)出明文，或?qū)憺椋篋SK（EPK（X））=X

②加密密鑰不能用來解密，即DPK（EPK（X））≠X

③在計(jì)算機(jī)上可以容易地產(chǎn)生成對的PK和SK。

④從已知的PK實(shí)際上不可能推導(dǎo)出SK。

⑤加密和解密的運(yùn)算可以對調(diào)，即：EPK（DSK（X））=X

從上述條件可看出，公開密鑰密碼體制下，加密密鑰不等于解密密鑰。加密密鑰可對外公開，使任何用戶都可將傳送給此用戶的信息用公開密鑰加密發(fā)送，而該用戶唯一保存的私人密鑰是保密的，也只有它能將密文復(fù)原、解密。雖然解密密鑰理論上可由加密密鑰推算出來，但這種算法設(shè)計(jì)在實(shí)際上是不可能的，或者雖然能夠推算出，但要花費(fèi)很長的時(shí)間而成為不可行的。所以將加密密鑰公開也不會(huì)危害密鑰的安全。

這種體制思想是簡單的，但是，如何找到一個(gè)適合的算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)卻是一個(gè)真正困擾密碼學(xué)家們的難題，因?yàn)榧热籔k和SK是一對存在著相互關(guān)系的密鑰，那么從其中一個(gè)推導(dǎo)出另一個(gè)就是很有可能的，如果敵手Oscar能夠從PK推導(dǎo)出SK，那么這個(gè)系統(tǒng)就不再安全了。因此如何找到一個(gè)合適的算法生成合適的Pk和SK，并且使得從PK不可能推導(dǎo)出SK，正是迫切需要密碼學(xué)家們解決的一道難題。這個(gè)難題甚至使得公鑰密碼系統(tǒng)的發(fā)展停滯了很長一段時(shí)間。

為了解決這個(gè)問題，密碼學(xué)家們考慮了數(shù)學(xué)上的陷門單向函數(shù)，下面，我們可以給出它的非正式定義：

Alice的公開加密函數(shù)應(yīng)該是容易計(jì)算的，而計(jì)算其逆函數(shù)（即解密函數(shù)）應(yīng)該是困難的（對于除Alice以外的人）。許多形式為Y=f（x）的函數(shù)，對于給定的自變量x值，很容易計(jì)算出函數(shù)Y的值；而由給定的Y值，在很多情況下依照函數(shù)關(guān)系f (x)計(jì)算x值十分困難。這樣容易計(jì)算但難于求逆的函數(shù)，通常稱為單向函數(shù)。在加密過程中，我們希望加密函數(shù)E為一個(gè)單項(xiàng)的單射函數(shù)，以便可以解密。雖然目前還沒有一個(gè)函數(shù)能被證明是單向的，但是有很多單射函數(shù)被認(rèn)為是單向的。

例如，有如下一個(gè)函數(shù)被認(rèn)為是單向的，假定n為兩個(gè)大素?cái)?shù)p和q的乘積，b為一個(gè)正整數(shù)，那么定義f：

f (x )= x b mod n

(如果gcd（b,φ（n））=1，那么事實(shí)上這就是我們以下要說的RSA加密函數(shù))

如果我們要構(gòu)造一個(gè)公鑰密碼體制，僅給出一個(gè)單向的單射函數(shù)是不夠的。從Alice的觀點(diǎn)來看，并不需要E是單向的，因?yàn)樗枰糜行У姆绞浇饷芩盏降男畔ⅰＲ虼耍珹lice應(yīng)該擁有一個(gè)陷門，其中包含容易求出E的你函數(shù)的秘密信息。也就是說，Alice可以有效解密，因?yàn)樗蓄~外的秘密知識(shí)，即SK，能夠提供給你解密函數(shù)D。因此，我們稱一個(gè)函數(shù)為一個(gè)陷門單向函數(shù)，如果它是一個(gè)單向函數(shù)，并在具有特定陷門的知識(shí)后容易求出其逆。

考慮上面的函數(shù)f (x) =?xb mod n。我們能夠知道其逆函數(shù)f -1有類似的形式f (x ) = xa?mod n，對于合適的取值a。陷門就是利用n的因子分解，有效的算出正確的指數(shù)a（對于給定的b）。

為方便起見，我們把特定的某類陷門單向函數(shù)計(jì)為?。那么隨機(jī)選取一個(gè)函數(shù)f屬于?，作為公開加密函數(shù)；其逆函數(shù)f-1是秘密解密函數(shù)。那么公鑰密碼體制就能夠?qū)崿F(xiàn)了。

根據(jù)以上關(guān)于陷門單向函數(shù)的思想,學(xué)者們提出了許多種公鑰加密的方法，它們的安全性都是基于復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題。根據(jù)所基于的數(shù)學(xué)難題，至少有以下三類系統(tǒng)目前被認(rèn)為是安全和有效的：大整數(shù)因子分解系統(tǒng)(代表性的有RSA)、橢園曲線離散對數(shù)系統(tǒng)(ECC)和離散對數(shù)系統(tǒng)(代表性的有DSA)。

§3 RSA算法

3.1簡介

當(dāng)前最著名、應(yīng)用最廣泛的公鑰系統(tǒng)RSA是在1978年，由美國麻省理工學(xué)院(MIT)的Rivest、Shamir和Adleman在題為《獲得數(shù)字簽名和公開鑰密碼系統(tǒng)的方法》的論文中提出的。它是一個(gè)基于數(shù)論的非對稱(公開鑰)密碼體制，是一種分組密碼體制。其名稱來自于三個(gè)發(fā)明者的姓名首字母。它的安全性是基于大整數(shù)素因子分解的困難性，而大整數(shù)因子分解問題是數(shù)學(xué)上的著名難題，至今沒有有效的方法予以解決，因此可以確保RSA算法的安全性。RSA系統(tǒng)是公鑰系統(tǒng)的最具有典型意義的方法，大多數(shù)使用公鑰密碼進(jìn)行加密和數(shù)字簽名的產(chǎn)品和標(biāo)準(zhǔn)使用的都是RSA算法。

RSA算法是第一個(gè)既能用于數(shù)據(jù)加密也能用于數(shù)字簽名的算法，因此它為公用網(wǎng)絡(luò)上信息的加密和鑒別提供了一種基本的方法。它通常是先生成一對RSA密鑰，其中之一是保密密鑰，由用戶保存；另一個(gè)為公開密鑰，可對外公開，甚至可在網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器中注冊，人們用公鑰加密文件發(fā)送給個(gè)人，個(gè)人就可以用私鑰解密接受。為提高保密強(qiáng)度，RSA密鑰至少為500位長，一般推薦使用1024位。

該算法基于下面的兩個(gè)事實(shí),這些事實(shí)保證了RSA算法的安全有效性：

1)已有確定一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)的快速算法；

2)尚未找到確定一個(gè)合數(shù)的質(zhì)因子的快速算法。

3.2工作原理

1)任意選取兩個(gè)不同的大質(zhì)數(shù)p和q，計(jì)算乘積r=p*q；

2)任意選取一個(gè)大整數(shù)e，e與(p-1)*(q-1)互質(zhì)，整數(shù)e用做加密密鑰。注意：e的選取是很容易的，例如，所有大于p和q的質(zhì)數(shù)都可用。

3)確定解密密鑰d：d * e = 1 modulo（p - 1）*（q - 1） 根據(jù)e、p和q可以容易地計(jì)算出d。

4)公開整數(shù)r和e，但是不公開d；

5)將明文P (假設(shè)P是一個(gè)小于r的整數(shù))加密為密文C，計(jì)算方法為：

C = Pe modulo r

6)將密文C解密為明文P，計(jì)算方法為：

P = Cd modulo r

然而只根據(jù)r和e（不是p和q）要計(jì)算出d是不可能的。因此，任何人都可對明文進(jìn)行加密，但只有授權(quán)用戶（知道d）才可對密文解密。

3.3簡單實(shí)例

為了說明該算法的工作過程,我們下面給出一個(gè)簡單例子,顯然我們在這只能取很小的數(shù)字，但是如上所述，為了保證安全，在實(shí)際應(yīng)用上我們所用的數(shù)字要大的多得多。

例：選取p=3, q=5，則r=15，（p-1）*（q-1）=8。選取e=11（大于p和q的質(zhì)數(shù)），通過d * 11 = 1 modulo 8，計(jì)算出d =3。

假定明文為整數(shù)13。則密文C為

C = Pe modulo r

= 1311 modulo 15

= 1,792,160,394,037 modulo 15

= 7

復(fù)原明文P為：

P = Cd modulo r

= 73 modulo 15

= 343 modulo 15

= 13

因?yàn)閑和d互逆，公開密鑰加密方法也允許采用這樣的方式對加密信息進(jìn)行"簽名"，以便接收方能確定簽名不是偽造的。

假設(shè)A和B希望通過公開密鑰加密方法進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，A和B分別公開加密算法和相應(yīng)的密鑰，但不公開解密算法和相應(yīng)的密鑰。A和B的加密算法分別是ECA和ECB，解密算法分別是DCA和DCB，ECA和DCA互逆，ECB和DCB互逆。 若A要向B發(fā)送明文P，不是簡單地發(fā)送ECB（P），而是先對P施以其解密算法DCA，再用加密算法ECB對結(jié)果加密后發(fā)送出去。

密文C為：

C = ECB（DCA（P））

B收到C后，先后施以其解密算法DCB和加密算法ECA，得到明文P：

ECA（DCB（C））

= ECA（DCB（ECB（DCA（P））））

= ECA（DCA（P））/*DCB和ECB相互抵消*/

=

P????????? /*DCB和ECB相互抵消*/

這樣B就確定報(bào)文確實(shí)是從A發(fā)出的，因?yàn)橹挥挟?dāng)加密過程利用了DCA算法，用ECA才能獲得P，只有A才知道DCA算法，沒 有人，即使是B也不能偽造A的簽名。

3.4優(yōu)缺點(diǎn)

3.4.1優(yōu)點(diǎn)

RSA算法是第一個(gè)能同時(shí)用于加密和數(shù)字簽名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰算法，從提出到現(xiàn)在已近二十年，經(jīng)歷了各種攻擊的考驗(yàn)，逐漸為人們接受，普遍認(rèn)為是目前最優(yōu)秀的公鑰方案之一。該算法的加密密鑰和加密算法分開，使得密鑰分配更為方便。它特別符合計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境。對于網(wǎng)上的大量用戶，可以將加密密鑰用電話簿的方式印出。如果某用戶想與另一用戶進(jìn)行保密通信，只需從公鑰簿上查出對方的加密密鑰，用它對所傳送的信息加密發(fā)出即可。對方收到信息后，用僅為自己所知的解密密鑰將信息脫密，了解報(bào)文的內(nèi)容。由此可看出，RSA算法解決了大量網(wǎng)絡(luò)用戶密鑰管理的難題，這是公鑰密碼系統(tǒng)相對于對稱密碼系統(tǒng)最突出的優(yōu)點(diǎn)。

3.4.2缺點(diǎn)

1)產(chǎn)生密鑰很麻煩，受到素?cái)?shù)產(chǎn)生技術(shù)的限制，因而難以做到一次一密。

2)安全性, RSA的安全性依賴于大數(shù)的因子分解，但并沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數(shù)分解難度等價(jià)，而且密碼學(xué)界多數(shù)人士傾向于因子分解不是NPC問題。目前，人們已能分解140多個(gè)十進(jìn)制位的大素?cái)?shù)，這就要求使用更長的密鑰，速度更慢；另外，目前人們正在積極尋找攻擊RSA的方法，如選擇密文攻擊，一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝(Blind)，讓擁有私鑰的實(shí)體簽署。然后，經(jīng)過計(jì)算就可得到它所想要的信息。實(shí)際上，攻擊利用的都是同一個(gè)弱點(diǎn)，即存在這樣一個(gè)事實(shí)：乘冪保留了輸入的乘法結(jié)構(gòu)：

( XM )d = Xd *Md mod n

前面已經(jīng)提到，這個(gè)固有的問題來自于公鑰密碼系統(tǒng)的最有用的特征--每個(gè)人都能使用公鑰。但從算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是采用好的公鑰協(xié)議，保證工作過程中實(shí)體不對其他實(shí)體任意產(chǎn)生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機(jī)文檔簽名，簽名時(shí)首先使用One-Way Hash Function對文檔作HASH處理，或同時(shí)使用不同的簽名算法。除了利用公共模數(shù)，人們還嘗試一些利用解密指數(shù)或φ（n）等等攻擊.

3)速度太慢,由于RSA的分組長度太大，為保證安全性，n至少也要600 bitx以上，使運(yùn)算代價(jià)很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼算法慢幾個(gè)數(shù)量級(jí)；且隨著大數(shù)分解技術(shù)的發(fā)展，這個(gè)長度還在增加，不利于數(shù)據(jù)格式的標(biāo)準(zhǔn)化。目前，SET(Secure Electronic Transaction)協(xié)議中要求CA采用2048比特長的密鑰，其他實(shí)體使用1024比特的密鑰。為了速度問題,目前人們廣泛使用單,公鑰密碼結(jié)合使用的方法,優(yōu)缺點(diǎn)互補(bǔ):單鑰密碼加密速度快,人們用它來加密較長的文件,然后用RSA來給文件密鑰加密,極好的解決了單鑰密碼的密鑰分發(fā)問題。

§4結(jié)束語

目前，日益激增的電子商務(wù)和其它因特網(wǎng)應(yīng)用需求使公鑰體系得以普及，這些需求量主要包括對服務(wù)器資源的訪問控制和對電子商務(wù)交易的保護(hù)，以及權(quán)利保護(hù)、個(gè)人隱私、無線交易和內(nèi)容完整性（如保證新聞報(bào)道或股票行情的真實(shí)性）等方面。公鑰技術(shù)發(fā)展到今天，在市場上明顯的發(fā)展趨勢就是PKI與操作系統(tǒng)的集成，PKI是“Public

Key Infrastructure”的縮寫，意為“公鑰基礎(chǔ)設(shè)施”。公鑰體制廣泛地用于CA認(rèn)證、數(shù)字簽名和密鑰交換等領(lǐng)域。

公鑰加密算法中使用最廣的是RSA。RSA算法研制的最初理念與目標(biāo)是努力使互聯(lián)網(wǎng)安全可靠，旨在解決DES算法秘密密鑰的利用公開信道傳輸分發(fā)的難題。而實(shí)際結(jié)果不但很好地解決了這個(gè)難題；還可利用RSA來完成對電文的數(shù)字簽名以抗對電文的否認(rèn)與抵賴；同時(shí)還可以利用數(shù)字簽名較容易地發(fā)現(xiàn)攻擊者對電文的非法篡改，以保護(hù)數(shù)據(jù)信息的完整性。目前為止，很多種加密技術(shù)采用了RSA算法，該算法也已經(jīng)在互聯(lián)網(wǎng)的許多方面得以廣泛應(yīng)用，包括在安全接口層（SSL）標(biāo)準(zhǔn)（該標(biāo)準(zhǔn)是網(wǎng)絡(luò)瀏覽器建立安全的互聯(lián)網(wǎng)連接時(shí)必須用到的）方面的應(yīng)用。此外，RSA加密系統(tǒng)還可應(yīng)用于智能IC卡和網(wǎng)絡(luò)安全產(chǎn)品。

但目前RSA算法的專利期限即將結(jié)束，取而代之的是基于橢圓曲線的密碼方案（ECC算法）。較之于RSA算法，ECC有其相對優(yōu)點(diǎn)，這使得ECC的特性更適合當(dāng)今電子商務(wù)需要快速反應(yīng)的發(fā)展潮流。此外，一種全新的量子密碼也正在發(fā)展中。

至于在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該采用何種加密算法則要結(jié)合具體應(yīng)用環(huán)境和系統(tǒng)，不能簡單地根據(jù)其加密強(qiáng)度來做出判斷。因?yàn)槌思用芩惴ū旧碇猓荑€合理分配、加密效率與現(xiàn)有系統(tǒng)的結(jié)合性以及投入產(chǎn)出分析都應(yīng)在實(shí)際環(huán)境中具體考慮。加密技術(shù)隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展更新，將有更安全更易于實(shí)現(xiàn)的算法不斷產(chǎn)生，為信息安全提供更有力的保障。今后，加密技術(shù)會(huì)何去何從，我們將拭目以待。

參考文獻(xiàn)：

[1] Douglas R.Stinson.《密碼學(xué)原理與實(shí)踐》.北京:電子工業(yè)出版社,2003,2:131-132

[2]西蒙.辛格.《密碼故事》.海口:海南出版社,2001,1:271-272

[3]嬴政天下.加密算法之RSA算法.http://soft.winzheng.com/infoView/Article_296.htm，2003

[4]加密與數(shù)字簽名.http://www.njt.cn/yumdq/dzsw/a2.htm

[5]黑客中級(jí)教程系列之十.http://www.qqorg.i-p.com/jiaocheng/10.html