簡介
我們都知道，計算機中的數據類型是有界限的，大部分的編程語言都僅支持int(-223~232-1)類型和long(-264~264)類型，少數語言會支持long long類型，但是不管支持的類型范圍再大，都還是有界限的一個范圍，但很多時候我們的運算會輕易地超過這個數據類型能表示的范圍的大小，比如階乘運算。這個時候我們的算法實現就進入了一個被稱為“大數運算”的范疇，我們將使用字符數組來表示一個數，并通過模擬實際運算，來實現任意長度的整數計算。
加法
加法的實現并不難，基本的實現方法就是模擬我們小學時候學習的加法豎式筆算，對每一位數字進行分別相加，然后逐位處理進位，最后得到結果，如下圖：
我們用兩個字符數組分別表示兩個加數，然后低位一一相加，然后用一個變量表示進位標識，最后結果也作為一個數組表示。
public static int[] Addition(int[] a, int[] b) {
int length_a = a.length;
int length_b = b.length;
if (length_a < length_b) { //判斷加數的長度是否相等，計算的時候統一把長度較長的加數作為加數a，長度較短的作為加數b，方便后面對多出的高位的處理
int[] c = a;
a = b;
b = c;
}
int[] result = new int[length_a + 1]; //創建存放結果的數組，加法中結果的位數最多超過較長加數一位
for (int i = 0; i < length_a; i++) {
if (i < length_b) {
result[i] += a[i] + b[i]; //加起來
result[i + 1] += result[i] / 10; //計算進位
result[i] %= 10; //計算進位之后該位的數字
} else {
result[i] += a[i];
result[i + 1] += result[i] / 10;
result[i] %= 10;
}
}
return result;
}
當然這不是最優的實現方法，可以優化的點還有很多，比如當兩個加數位數相同的時候，多出來的高位其實已經不用計算了，不過這里討論的只是實現的思路而不是刷題，只要還是用同一個思路來做，那其余優化的就是對數字處理和對循環的簡化，不是重點。
減法
減法的做法和加法相同，畢竟只是互為逆運算，加法中的進位標識改為計算借位的標識即可，當然還要考慮符號。如下圖：
減法的思路和加法沒有太大的區別，就不細說了。
public static int[] Subtraction(int[] a, int[] b) {
int length_a = a.length;
int length_b = b.length;
if (length_a < length_b) { //根據兩個數的大小，把大的作為被減數，小的作為減數，這里沒有考慮符號的顯示，但是如果進行了換位操作，顯然結果就是負數
int[] c = a;
a = b;
b = c;
} else if (a[length_a - 1] < b[length_b - 1]) {
int[] c = a;
a = b;
b = c;
}
int[] result = new int[length_a];
for (int i = 0; i < length_a; i++) { //逐位相減，不足就從上一位借位，也就是前一位減一
if (i < length_b) {
result[i] += (a[i] - b[i]);
if (result[i] < 0) {
result[i + 1] -= 1;
result[i] += 10;
}
} else {
result[i] += a[i];
if (result[i] < 0) {
result[i + 1] -= 1;
result[i] += 10;
}
}
}
return result;
}
乘除法的大數運算比加減法復雜一點，先從簡單的情況開始列舉。
乘法(簡單)
這里簡單的情況是一個乘數為大數，另一個乘數為數據類型可表示的數字，即沒有超過int類型最大范圍的數。
先看一下乘法豎式的原理（不要吐槽我的圖）
這是基本的個位數乘法，但是和我們之前學的不同的是，乘法其實只是加法的一種變化，所以豎式計算的時候，乘法其實是可以采用和加法相同的方式計算的，當我們的乘數是兩位數甚至多位數的時候，也可以用單位數乘法的豎式計算法
還是相同的進位方式，只不過這次的數顯然大了很多，其他的計算步驟都是相同的，所以，我們的代碼和加法的代碼相差不大，仍然是：正常計算→處理進位
/*
* 計算出乘數的位數，用于最后確定結果的位數
*/
public static int CountInt(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n /= 10;
count++;
}
return count;
}
public static int[] Multiply(int[] a, int b) {
int length = a.length;
int[] result = new int[CountInt(b) + length];
for (int i = 0; i < length; i++) {
result[i] += a[i] * b;
if (result[i] >= 10) {
result[i + 1] += result[i] / 10;
result[i] %= 10;
}
}
return result;
}
乘法(普通)
當兩個乘數都是大數的時候，這個時候就不能簡單地用上面的方法了，要回到傳統的豎式運算，找到其中的規律，雖然以前沒有見過，但是只要稍微看一下就知道傳統豎式計算中的奧秘了。見下圖：
把紅色看做是數組編號，乘數，被乘數和積都按位對齊，然后稍微編號計算一下，顯然，另被乘數為a數組，乘數為b數組，乘積為c數組，則a [ i ] * b [ j ] = c [ i + j ]
代碼實現如下
/*
* 對兩個int數組進行運算
*/
public static int[] Multiply(int[] a, int[] b) {
int length_a = a.length; //獲取長度確定運算次數
int length_b = b.length;
int result[] = new int[length_a + length_b];
for (int i = 0; i < length_a; i++) { //乘法中數a第i位與數b第j位的結果放在結果的第i+j位上
for (int j = 0; j < length_b; j++) {
result[i + j] += a[i] * b[j];
}
}
/*
* 對進位進行統一處理
*/
for (int i = 0; i < length_a + length_b - 1; i++) {
if (result[i] > 10) {
result[i + 1] += result[i] / 10;
result[i] %= 10;
}
}
return result;
}
除法(簡單)
和簡單的乘法如出一轍，直接上圖：
我們可以發現，商的每一位都是上一位減剩的余數乘以10加上當前位的數字，再除以除數，由此就可以開始設計簡單的算法
