1.線性空間基的作用
定理1：設是線性空間V的一組基，
是V的向量，則
可以由基
唯一線性表示。即：
2.向量在線性空間的坐標
設是線性空間V的一組基，V的向量
可以由基
唯一線性表示
.
則稱有序數組
向量是一個抽象的，坐標是一個具體的，因此，我們在研究向量的時候，可以先研究其坐標。當把坐標研究清楚以后，在通過基反向研究向量。
而同一個向量，在不同基下的坐標是不一致的。
3.基的變換與坐標變換
一個線性空間可能有不同的基，因此，我們要考慮兩個問題：
a.兩組基底之間的過渡關系
b.同一向量在不同基底下坐標之間的關系。
假設?與
是線性空間V的兩組基。
則兩組基底之間的過渡關系：
[]=[
]A，則A就是過渡矩陣。
則同一向量在不同基底下坐標之間的關系：
X=AY
矩陣A是向量X向Y的過渡矩陣
