文章作者：Tyan
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本文主要是對(duì)最大子數(shù)組（序列）問(wèn)題求解的學(xué)習(xí)與總結(jié)，最大子數(shù)組問(wèn)題是一道經(jīng)典的算法題，這道題解法有很多，因此可以學(xué)習(xí)到很多求解問(wèn)題的思路，并可以學(xué)習(xí)到算法的優(yōu)化過(guò)程。
1. 問(wèn)題描述
英文：
Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.
For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.
中文：
主要是給定一個(gè)數(shù)組，求解數(shù)組的子數(shù)組中，數(shù)組元素和最大的那一個(gè)子數(shù)組，返回的是最大子數(shù)組的和。
2. 求解
解法一
最簡(jiǎn)單也是最容易想到的思路就是三層循環(huán)，對(duì)(i,j),i<=j的情況進(jìn)行遍歷，這種情況下的算法復(fù)雜度為O($n^3$)。代碼如下：
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
//如果需要節(jié)省空間，可將n替換
int n = nums.length;
int max = nums[0];
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = i; j < n; j++){
int sum = 0;
//注意k的邊界，存在i=j的情況
for(int k = i; k <= j; k++) {
sum += nums[k];
if(sum > max) {
max = sum;
}
}
}
}
return max;
}
}
Leetcode上的運(yùn)行結(jié)果如下：
解法二
從Leetcode結(jié)果可以看出，時(shí)間超時(shí)了，O($n3$)的時(shí)間復(fù)雜度確實(shí)太高了，需要進(jìn)行優(yōu)化。分析上面的代碼，在i不變的情況下，j每增加1，其和都是在上次求和基礎(chǔ)上加上最新的元素，而在第三層循環(huán)中都是重新從i開始計(jì)算求和，因此存在數(shù)據(jù)冗余（求和的重復(fù)計(jì)算），因此需要需要去掉算法中的冗余部分。這種情況下的代碼復(fù)雜度變?yōu)镺($n2$)，代碼如下：
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
int max = nums[0];
for(int i = 0; i < n; i++) {
int sum = 0;
for(int j = i; j < n; j++){
sum += nums[j];
if(sum > max) {
max = sum;
}
}
}
return max;
}
}
Leetcode上運(yùn)行結(jié)果如下：
解法三
從Leetcode結(jié)果可以看出，時(shí)間還是超時(shí)了，但從執(zhí)行的測(cè)試數(shù)據(jù)數(shù)量上來(lái)看，比第一次多執(zhí)行了兩個(gè)，但在最后一個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)上時(shí)間超時(shí)了。那么能不能有進(jìn)一步的優(yōu)化呢？答案是肯定有的。可以使用分治法來(lái)求解，算法復(fù)雜度為O(nlogn)，但是其實(shí)本題并不適合使用分治法，太復(fù)雜。雖然算法復(fù)雜度降低了一些，因此這里略過(guò)分治法，直接尋找更優(yōu)解法。
解法四
還有沒(méi)有更好的方法呢？答案也是肯定的。首先假設(shè)存在最大子數(shù)組X，則最大子數(shù)組X中的任意一個(gè)子數(shù)組x都不應(yīng)該為負(fù)數(shù)，如果x為負(fù)數(shù)，則X必定不是最大子數(shù)組（可用反證法證明）。根據(jù)這個(gè)思想，我們只需要以此累加數(shù)組元素，并將和與0比較，如果小于0，則需要在剩下的元素中重新尋找是否存在最大子數(shù)組，如果不小于0，則與保存的最大子數(shù)組值進(jìn)行比較，如果大于最大子數(shù)組值，則更新最大子數(shù)組值。這樣只需要一次遍歷就能找到最大子數(shù)組，這種解法的算法復(fù)雜度為O(n)。根據(jù)這個(gè)思路，解決這個(gè)問(wèn)題的算法復(fù)雜度代碼如下：
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
int max = nums[0];
int sum = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
sum += nums[i];
if(sum > max) {
max = sum;
}
if(sum < 0) {
sum = 0;
}
}
return max;
}
}
Leetcode通過(guò)了。
解法五
還有沒(méi)有別的方法呢？答案還是肯定的。使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃過(guò)程是：每次決策依賴于當(dāng)前狀態(tài)，又隨即引起狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。一個(gè)決策序列就是在變化的狀態(tài)中產(chǎn)生出來(lái)的，所以，這種多階段最優(yōu)化決策解決問(wèn)題的過(guò)程就稱為動(dòng)態(tài)規(guī)劃。 使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解問(wèn)題，最重要的就是確定動(dòng)態(tài)規(guī)劃三要素：（1）問(wèn)題的階段；（2）每個(gè)階段的狀態(tài)；（3）從前一個(gè)階段轉(zhuǎn)化到后一個(gè)階段之間的遞推關(guān)系。
1.起始階段(i=0)，max = nums[0]；2.第i(i > 0)個(gè)階段，max = curMax[i]，curMax是第i個(gè)階段的最大子序列和；3.第i-1和第i個(gè)階段的關(guān)系，curMax[i] = Math.max(curMax[i - 1] + nums[i], nums[i])；4.根據(jù)前面動(dòng)態(tài)規(guī)劃的定義，則最大子序列和max = Math.max(max, curMax[i])。
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
//curMax是當(dāng)前的最大子序列和
int[] curMax = new int[n];
curMax[0] = nums[0];
int max = nums[0];
for (int i = 1; i < n; i ++) {
curMax[i] = Math.max(curMax[i - 1] + nums[i], nums[i]);
max = Math.max(max, curMax[i]);
}
return max;
}
}
Leetcode通過(guò)了。
分析解法四與解法五
其實(shí)解法四與解法五是一致的，解法四中的sum等于解法五中的curMax[i]，解法五中如果curMax[i-1]小于0，則curMax[i] = nums[i]，而在解法四中由于第i-1次時(shí)sum=curMax[i-1]，因此需要將sum重置為0，則sum + nums[i] = nums[i]，與curMax[i] = nums[i]是一致的。如果解法五中curMax[i-1]大于等于0，則curMax[i] = curMax[i - 1] + nums[i]，此時(shí)方法四中sum = sum + nums[i]。而第i-1次時(shí)，sum = curMax[i - 1]，兩者也是等價(jià)的。解法五中的curMax[0]替換為sum，curMax[i]替換為sum，將curMax[i] = Math.max(curMax[i - 1] + nums[i], nums[i]);變換為sum += nums[i];和if(sum < 0) { sum = 0; }，即可將代碼從解法五變換為解法四的代碼。
