前言

Dijkstra算法是應(yīng)用于圖中單源最短路徑的搜索。我在這記錄下我在學(xué)習(xí)該算法時(shí)的一些想法、理解與總結(jié)。首先我會(huì)寫(xiě)一段預(yù)備知識(shí)，以便于之后的理解。

算法基礎(chǔ)

1. 選擇點(diǎn)到其他點(diǎn)的最短距離
2. 局部最優(yōu)是全局最優(yōu)的充分必要條件

基礎(chǔ)1：
在一張權(quán)值都是 同號(hào) 的圖中，假設(shè)存在：①點(diǎn)A；②與A點(diǎn)相連的最短弧的弧頭C；那么路徑(A,C)為點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑。

圖1

如圖所示，(A,C) 是點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑。
解釋?zhuān)涸跈?quán)值都為正的情況下，沒(méi)走一個(gè)點(diǎn)，其路徑只會(huì)增加。所以與點(diǎn)A相接最短的弧是抵達(dá)弧頭的最短路徑。

正文

集合{S}：用來(lái)存放已尋找到最短路徑的點(diǎn)。
集合{V}：全集
集合{V - S} 剩下的未找到最短路徑的點(diǎn)集
如果集合{S}包括了所有的點(diǎn)，那么圖的單源最短路徑尋找結(jié)束。
算法開(kāi)始的時(shí)候集合{S}中只包括原點(diǎn)，Dijkstra算法的過(guò)程是逐漸填充集合{S}的過(guò)程。

怎么填充？

在集合{V - S}中找一個(gè)距離{S}最近的點(diǎn)，命其為 點(diǎn)V 將其加入集合{S}中。

解釋如圖：

圖2

注意：
①這張圖和前面那張圖沒(méi)有任何聯(lián)系；
②圖中的虛線并不是真實(shí)存在的線，虛線上的數(shù)組不是點(diǎn)至原點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度，而是集合{S}到點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度，這些數(shù)值的需要計(jì)算；

在填充的過(guò)程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題。每添加一個(gè)點(diǎn)之后，集合{S} 至集合{V - S}中點(diǎn)的最短距離可能會(huì)發(fā)生變化。
例如 圖2 ：添加點(diǎn)C之后，集合{S}到點(diǎn)B的最短距離變?yōu)橄冉?jīng)過(guò)點(diǎn)C，在到達(dá)點(diǎn)B。即 5+4 < 10。因此再每加入一個(gè)點(diǎn)后就要時(shí)刻更新集合{S} 至 集合{V - S}中點(diǎn)的最短距離。

總結(jié)：Dijkstra算法一共需要三步

• ① 創(chuàng)建集合{S}，將原點(diǎn)加入集合{S}。計(jì)算集合{S}到各點(diǎn)的距離，并儲(chǔ)存。
• ② 尋找目前距離集合{S}最短距離的 點(diǎn)V ，將 點(diǎn)V 加入集合{S}
• ③ 更新集合{V - S} 中的點(diǎn)距離 集合{S} 的距離

應(yīng)用

#define MAX_SIZE 100
int route[MAX_SIZE][MAX_SIZE];//路徑
int curDis[MAX_SIZE];//當(dāng)前最短路徑
int pre[MAX_SIZE];//前驅(qū)
bool Set[MAX_SIZE];//集合{S}
int N;//結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
void shortestPath(const int start, const int dest)
    {
        //初始化
        fill(Set, Set+N, false);
        fill(curDis, curDis+N, INF);
        int i;
        for(i = 0 ; i < N ; i++) pre[i] = i;
        curDis[start] = 0;
        //遍歷除原點(diǎn)外的頂點(diǎn)，因?yàn)槊看窝h(huán)都會(huì)尋找到一個(gè)可以加入集合{S}中的點(diǎn)，
        for(i = 0 ; i < N ; i++){
            //尋找 {V-S} 到原點(diǎn)最短路徑的點(diǎn)
            int v = -1, MIN = INF;
            for(int j = 0 ; j < N ; j++){
                if(!Set[j] && curDis[j] < MIN)
                    v = j;
                    min = curDis[j];
                }
            }
            if(v == -1) break;//有些結(jié)點(diǎn)無(wú)法到達(dá)
            Set[v] = true;
            //更新 {V-S} 中的最短路徑
            for(int j = 0 ; j < N ; j++){
                if(!Set[j] && route[u][j] != INF){
                  if(curDis[v] + route[v][j] < curDis[j]){
                      curDis[j] = curDis[v] + route[v][j];
                      pre[j] = u;//設(shè)置前驅(qū)
                  }else if(distance == shortestDistance[iY]){
                      //這里處理第二選擇情況
                  }
              }
            }
        }
    }

注意：權(quán)值必須是全是正的，或者全是負(fù)的。兩種情況的結(jié)果會(huì)不同，我只做在權(quán)值全為正的情況。如果想求最大路徑，可以將正權(quán)值都制負(fù)，然后使用Dijkstra算法尋找最小值。然后再去絕對(duì)值，則是最大路徑。