這篇文章收錄在我的 Github 上 algorithms-tutorial，另外記錄了些算法題解，感興趣的可以看看，轉載請注明出處。
(一) 基本概念
Red-Black Tree 稱為“紅黑樹”，是一種自平衡二叉查找樹，紅黑樹和 AVL 樹類似，在進行插入和刪除時需要通過旋轉和重新著色來維持其紅黑樹的特性。
紅黑樹的應用相當廣泛，主要是用它來存儲有序的數據，它的時間復雜度為 O(logn)，查詢效率非常高。
1. 紅黑樹和 AVL 樹的區別：
- 紅黑樹并不追求“完全平衡” —— 它只要求部分地達到平衡要求，降低了對旋轉的要求，從而提高了性能。
- 在AVL樹中任何節點的兩個兒子子樹的高度最大差別為一，所以它也被稱為高度平衡樹。
- 紅黑樹的算法時間復雜度和 AVL 相同，但統計性能比 AVL 樹更高。
- 紅黑樹是犧牲了嚴格的高度平衡的優越條件為代價紅黑樹能夠以 O(log2 n) 的時間復雜度進行搜索、插入、刪除操作。由于它的設計，任何不平衡都會在三次旋轉之內解決。
2. 紅黑樹的執行：
- 每個節點具有顏色屬性，要么為紅色，要么為黑色
- 根節點是黑色的
- 每個葉子節點 (null) 是黑色的 (這里葉子節點，指為空的葉子節點)
- 如果一個節點是紅色的，則其子節點必須是黑色的
- 從一個節點到該節點的葉節點 (null) 所有路徑包含相同數目的黑節點
3. 紅黑樹的優點：
- 紅黑樹的性質決定了從根節點到最遠的葉節點的距離不可能超過從根節點到葉節點的距離的兩倍。
- 另外可以證明的是紅黑樹的高度最多為 log(n + 1)，n 為節點個數
- 插入和刪除在最壞的情況下為 O(logn)
- 紅黑樹提供了一種替代 AVL 樹的方式，并且是一種更加簡單，不用遞歸的插入算法
4. 紅黑樹的示意圖：
(二) 基本操作
紅黑樹的基本操作是添加、刪除。前面我們提到，在進行插入和刪除時需要通過旋轉和重新著色來維持其紅黑樹的特性，那么接下來就介紹這些操作：
一、左旋和右旋：
1. 左旋：
可以將 X 稱為當前節點，則左旋的字面意思就是將當前節點變為左子節點。（這樣可避免左右旋傻傻分不清）
這時候 X 變為 Y 的左子節點，若 Y 節點存在左子樹(即圖中的 β)，則將其變為 X 的右子樹
Java 代碼實現：
public TreeNode singleRotateWithLeft(TreeNode presentNode){
TreeNode node; //新的父節點
node = presentNode.rightChild;
presentNode.rightChild = node.leftChild;
node.leftChild = presentNode;
return node;
}
2. 右旋：
此時當前節點為 Y，則 Y節點變為 X 節點的右子樹，而若 X 存在右子樹(即圖中的 β)，則變為 Y 節點的左子樹
Java 代碼實現：
public TreeNode singleRotateWithRight(TreeNode presentNode){
TreeNode node;
node = presentNode.leftChild;
presentNode.leftChild = node.rightChild;
node.rightChild = presentNode;
return node;
}
二、插入：
一個節點要插入到紅黑樹中，需要的步驟：
- 將紅黑樹當作一棵二叉查找樹，將節點插入
- 將該節點著色為紅色
- 通過旋轉和重新著色等方法修正該樹，使之重新成為一棵紅黑樹
第一步：將紅黑樹當作一棵二叉查找樹，將節點插入
紅黑樹本身也是二叉查找樹，將節點插入后，該樹仍是二叉查找樹。
第二步：將該節點著色為紅色
將插入的節點著色為紅色，不會違背特性(5):從一個節點到該節點的葉節點 (null) 所有路徑包含相同數目的黑節點
若插入的節點為黑色，那么該路徑的節點就多了一個黑節點，這顯然與特性(5) 相違背。
第三步：通過旋轉和重新著色等方法修正該樹，使之重新成為一棵紅黑樹
第二步中，將插入的節點著色為 "紅色" 之后，不會違背特性 (5)，那么它還會違背其他特性嗎？
對于特性(1) (2) (3) 顯然都不會違背，請自行想象
而對于特性 (4)，是有可能違背的
因為插入節點的父節點也可能為紅色，那么顯然與一個紅色節點的子節點必須為黑節點相違背。
那么，既然有可能違背特性(4) 那么我們可以通過旋轉或者重新著色來使其滿足特性(4)，再次成為紅黑樹。
無論旋轉還是重新著色，其核心思路都是：將紅色的節點移到根節點；然后，將根節點設為黑色。
對于插入節點的情況，可以大致分為以下五種：
情況1:被插入的節點是根節點
處理方式：直接把此節點涂為黑色。
這個顯然，不然就會違背特性(2): 根節點是黑色的
代碼實現：
public void insert_case1(TreeNode presentNode){
if(presentNode.parent == null){
presentNode.color = "black";
}else{
insert_case2(presentNode);
}
}
情況2: 被插入的節點的父節點是黑色
處理方式：什么都不需要做，節點被插入后，仍然是紅黑樹。
代碼實現：
public void insert_case2(TreeNode presentNode){
if(presentNode.parent.color.equals("black")){
// do nothing
}else{
insert_case3(presentNode);
}
}
情況3、4、5 就比較復雜了些，但是核心思路仍是：將紅色的節點移到根節點；然后，將根節點設為黑色。
在介紹方法之前，先來了解幾個概念：
如圖所示，新插入節點的父節點的父節點(即圖中黑節點)即是新插入節點的祖父節點，而祖父節點的右子節點稱為叔叔節點。
以后代碼部分的基礎數據結構 ADT 都是用這個節點樹來實現的：
//java
public class TreeNode{
TreeNode leftChild;
TreeNode rightChild;
TreeNode parent;
TreeNode grandParent;
TreeNode uncle;
String color;
public TreeNode(){
grandParent = this.parent.parent;
if(this.parent == grandParent.leftChild){
uncle = grandParent.rightChild;
}else{
uncle = grandParent.leftChild;
}
}
}
情況3、4、5 都是建立在插入節點的父節點為紅色的情況下，此時會違背特性(4)，所以我們需要通過旋轉和重新著色來修復紅黑樹
情況3: 叔叔節點是紅色
處理方式：
- 將 "父節點" 設為黑色
- 將 "叔叔節點" 設為黑色
- 將 "祖父節點" 設為紅色
- 將 "祖父節點" 設為 "當前節點"(紅色節點)；之后繼續對 "當前" 進行操作
新插入節點為 N，符合情況 3 要求，則將 P，U 變為黑色，G 變為紅色，之后再將 G 作為當前節點繼續判斷，因為 G 為根節點，那么根據情況 1，將其涂為黑色，完事。
代碼實現：
public void insert_case3(TreeNode presentNode){
if(presentNode.uncle != null && presentNode.uncle.color.equals("red")){
presentNode.parent.color = "black";
presentNode.uncle.color = "black";
grandParent.color = "red";
insert_case1(grandParent);
}else{
insert_case4(presentNode);
}
}
我再舉個例子來說明：往一課紅黑樹中插入節點 45
符合情況 3，所以顏色重繪并將節點 60 作為當前節點，就變為了
之后又符合情況 3，所以繼續操作，最后將根節點涂成黑色就結束了
情況 4：叔叔節點為黑色或缺失，且當前節點是曲線邊 (即左右或右左)
處理方式：
- 將 "父節點" 作為 "新的當前節點"
- 以 "新的當前節點" 為支點進行左旋
- 以新的當前節點(即原本的父節點)再進行操作
如圖所示：
將 P 節點作為當前節點進行左旋，然后之后再對 P 節點進行操作
代碼實現：
public void insert_case4(TreeNode presentNode){
if(presentNode == presentNode.parent.rightChild && presentNode.parent == presentNode.grandParent.leftChild){
singleRotateWithLeft(presentNode.parent);
presentNode = presentNode.leftChild;
}else if(presentNode == presentNode.parent.leftChild && presentNode.parent == presentNode.grandParent.rightChild){
singleRotateWithRight(presentNode.parent);
presentNode = presentNode.rightChild;
}
insert_case5(presentNode);
}
情況 5: 叔叔節點為黑色或缺失，且當前節點是在外邊(即左左或右右)
處理方式：
- 將 "父節點" 設為黑色
- 將 "祖父節點" 設為紅色
- 以 "祖父節點" 為支點進行右旋
如圖所示:
代碼實現：
public void insert_case5(TreeNode presentNode){
presentNode.parent.color = "black";
presentNode.grandParent.color = "red";
if(presentNode == presentNode.parent.leftChild && presentNode.parent == presentNode.grandParent.leftChild){
singleRotateWithRight(presentNode);
}else{
singleRotateWithLeft(presentNode);
}
}
讓我們用一個例子來結合說明情況 3、4、5
往圖中原本的紅黑樹插入節點 45，這里先用到情況3，接著 4，最后 5，所以不再贅述原理。
step1:
step2
step3
前面代碼部分都是用尾遞歸來實現插入操作，顯然這種插入效率并不高，截下來我改用迭代的方式來進行插入操作
迭代實現插入操作
public void insert_case(TreeNode presentNode){
while(presentNode != null){
if(presentNode.parent == null){
presentNode.color = "black";
break;
}else if(presentNode.parent.color.equals("black")){
//do nothing
break;
}else if(presentNode.uncle != null && presentNode.uncle.color.equals("red")){
presentNode.parent.color = "black";
presentNode.uncle.color = "black";
presentNode.grandParent.color = "red";
presentNode = presentNode.grandParent;
}else if(presentNode == presentNode.parent.rightChild && presentNode.parent == presentNode.grandParent.leftChild){
singleRotateWithLeft(presentNode.parent);
presentNode = presentNode.leftChild;
}else if(presentNode == presentNode.parent.leftChild && presentNode.parent == presentNode.grandParent.rightChild){
singleRotateWithRight(presentNode.parent);
presentNode = presentNode.rightChild;
}else{
presentNode.parent.color = "black";
presentNode.grandParent.color = "red";
if(presentNode == presentNode.parent.leftChild && presentNode.parent == presentNode.grandParent.leftChild){
singleRotateWithRight(presentNode);
}else{
singleRotateWithLeft(presentNode);
}
}
}
}
另外老師還介紹了一種 Top-down 的插入方法：從根節點到插入的節點的路徑中查找，如果遇到一個節點 X 帶有兩個紅色兒子，就執行下面的操作：
這樣就會遇到一個問題：如果節點 X 的父節點也是紅色，那就違背了性質 4，這時候我們就要根據前一種方法的情況 3、4、5去進行討論
課上例題：構造一棵紅黑樹，按順序加入 10，85，15，70，20，60，30，50，65，80，90，40，5，55
三、刪除：
將紅黑樹內的某一個節點刪除。需要執行的操作依次是：
- 將紅黑樹當作一顆二叉查找樹，將該節點從二叉查找樹中刪除
- 通過"旋轉和重新著色"等一系列來修正該樹，使之重新成為一棵紅黑樹
在分析之前，我們再次溫習一下紅黑樹的幾個特性：
- 每個節點具有顏色屬性，要么為紅色，要么為黑色
- 根節點是黑色的
- 每個葉子節點 (null) 是黑色的 (這里葉子節點，指為空的葉子節點)
- 如果一個節點是紅色的，則其子節點必須是黑色的
- 從一個節點到該節點的葉節點 (null) 所有路徑包含相同數目的黑節點
參考鏈接:
