1. 前言
本節(jié)內(nèi)容是遞歸算法系列之一：斐波那契數(shù)列遞歸求解，主要介紹了斐波那契數(shù)列的定義，然后用遞歸的實現(xiàn)思想分析了一下斐波那契數(shù)列，最后給出了基于 Java 代碼應用遞歸思想實現(xiàn)斐波那契數(shù)列的代碼實現(xiàn)及簡單講解。
2. 什么是斐波那契數(shù)列？
斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），也稱之為黃金分割數(shù)列，由意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契（Leonardo Fibonacci）提出。斐波那契數(shù)列指的是這樣的一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，這個數(shù)列從第 3 項開始，每一項都等于前面兩項之和。在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列可以被遞推的方法定義如下：
F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）
斐波那契數(shù)列是數(shù)學上面一個經(jīng)典的例子，并且在日常生活中有很多應用，他還與黃金分割有著密不可分的聯(lián)系，而且當 n 趨向于無窮大時，前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割值 0.618。
3. 用遞歸方法求解斐波那契數(shù)列
在這一節(jié)中，我們就需要利用遞歸的思想去求解斐波那契數(shù)列，當給出一個斐波那契中第幾項的數(shù)字，然后求解出對應的斐波那契數(shù)值。在之前，我們已經(jīng)定義了遞歸算法的相關概念，并且明確了需要應用遞歸時候的三要素：
- 遞歸終止條件；
- 遞歸終止時候的處理方法；
- 遞歸中重復的邏輯提取，縮小問題規(guī)模。
接下來，我們將利用遞歸的知識來解決斐波那契數(shù)列問題，明確在斐波那契數(shù)列求解問題中的遞歸三要素分別是什么。
斐波那契數(shù)列的遞歸終止條件
顯然易見，通過觀察斐波那契數(shù)列的定義，我們很容易發(fā)現(xiàn)當 n=1 或者 n=2 時，是斐波那契數(shù)列的遞歸終止條件，這個時候可以給出斐波那契數(shù)列的具體值。
斐波那契數(shù)列遞歸終止時候的處理方法
同樣的，基于斐波那契數(shù)列的遞推定義，當斐波那契數(shù)列達到終止條件 n=1 或者 n=2 時，我們也很容易發(fā)現(xiàn)對應 F(1)=1，F(2)=1，這就是斐波那契數(shù)列在遞歸終止時對應的取值。
斐波那契數(shù)列的遞歸重復邏輯提取
按照斐波那契數(shù)列的數(shù)學定義，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*），即當 n ≥ 3 時，斐波那契數(shù)列中這一項的值等于前面兩項的值之和，這樣便可以將求解一個比較大的斐波那契數(shù)列轉(zhuǎn)化為求解較小數(shù)值的斐波那契數(shù)列值，這里面有重復邏輯可以遞歸復用。
例如，當我們求解斐波那契數(shù)列中的 F(5) 時，按照定義，我們有：
F(5) = F(4) + F(3) // 遞歸分解
= ( F(3) + F(2) ) + ( F(2）+F(1) ) // 遞歸求解
= [ ( F(2)+F(1) ) + 1 ] + ( 1+1 ) // 遞歸求解，遇到終止條件就求解
= [(1+1) +1 ]+(1+1) // 歸并
= 3 + 2 // 歸并
= 5 // 歸并
4. 基于 Java 代碼示例及實現(xiàn)講解
在說明斐波那契數(shù)列的遞歸描述之后，我們看看如何用 Java 代碼來實現(xiàn)對斐波那契數(shù)列的計算。
public class Fibonacci {
public static void main(String[] args){
System.out.println(fibonacci(1));
System.out.println(fibonacci(2));
System.out.println(fibonacci(3));
System.out.println(fibonacci(4));
System.out.println(fibonacci(5));
}
//斐波那契數(shù)列數(shù)列的計算
private static int fibonacci(int n){
//如果是終止條件，按照要求返回終止條件對應結(jié)果
if( n==1 || n==2 ){
return 1;
}else {
//非終止條件，按照要求把大的問題拆分成小問題，調(diào)用自身函數(shù)遞歸處理
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}
}
}
運行結(jié)果如下：
1
1
2
3
5
代碼中的第 4 行至第 8 行分別調(diào)用斐波那契數(shù)列計算函數(shù)，計算出斐波那契數(shù)列中對應 n=1,2,3,4,5 時斐波那契數(shù)列的取值，進行結(jié)果比較，判斷斐波那契數(shù)列程序?qū)崿F(xiàn)是否正確。代碼中的第 12 行至第 20 行是斐波那契數(shù)列應用遞歸方法進行斐波那契數(shù)列的計算，按照遞歸的三要素進行計算處理。
5. 小結(jié)
本節(jié)主要介紹了用遞歸思想求解斐波那契數(shù)列，在學完本節(jié)課程之后，我們了解到了什么是斐波那契數(shù)列，并且將遞歸算法在斐波那契數(shù)列中進行了實際應用，需要掌握斐波那契數(shù)列的遞歸求解方法，并自己可以實現(xiàn)相關的代碼實現(xiàn)，并清楚里面的每一步邏輯。
