近期在信號(hào)與系統(tǒng)課程中講完了“信號(hào)的采樣與恢復(fù)”的內(nèi)容。通常情況下對(duì)于信號(hào)的采樣都是沿著時(shí)間軸對(duì)信號(hào)的幅值進(jìn)行采樣，獲得信號(hào)的離散時(shí)間點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。
如果將信號(hào)的波形繪制在直接坐標(biāo)系中，那么該曲線就是分布在二維空間上的曲線。曲線上的點(diǎn)可以沿著時(shí)間軸進(jìn)行排列，當(dāng)然也可以按照幅值的大小進(jìn)行排列。也就是按照取值間隔，將信號(hào)通過(guò)該間隔的時(shí)間進(jìn)行保存，這就是對(duì)信號(hào)的時(shí)間采樣。
▲ 聲音的時(shí)間波形
沿著時(shí)間軸對(duì)信號(hào)的幅值進(jìn)行采樣，Nyquist-Shannon定理告訴我們?nèi)绾芜M(jìn)行采樣和如何進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)。但是，如何對(duì)信號(hào)時(shí)間進(jìn)行采樣，如何恢復(fù)是一個(gè)經(jīng)典的未解決問(wèn)題。
Logan定理[Logan,Jr.，1977]對(duì)一種特殊信號(hào)給出了采樣與恢復(fù)的描述：如果一個(gè)信號(hào)的頻譜具有倍頻的性質(zhì)，即信號(hào)頻譜分布在一個(gè)頻率范圍內(nèi)，最高頻率是最低頻率的兩倍。那么這個(gè)信號(hào)可以通過(guò)它的過(guò)零點(diǎn)的時(shí)間值進(jìn)行恢復(fù)。恢復(fù)的信號(hào)與原始信號(hào)僅僅相差一個(gè)比例因子。
信號(hào)采樣與恢復(fù)
1. 幅度采樣
下面是一段普通語(yǔ)音信號(hào)的復(fù)制采樣波形。通過(guò)簡(jiǎn)單的DA轉(zhuǎn)換和低通濾波便可以恢復(fù)出原始的聲音波形。
▲ 幅度采集聲音波形
這段語(yǔ)音信號(hào)的內(nèi)容為：
voice2.wav來(lái)自TsinghuaJoking00:0000:27
2. 時(shí)間采樣
如果僅僅保留該信號(hào)的過(guò)零時(shí)間點(diǎn)的信息，它的幅值全部去掉，所形成的波形大體上如下圖所示。這很像將原來(lái)的語(yǔ)音信號(hào)通過(guò)一個(gè)過(guò)零點(diǎn)比較器，輸出的信號(hào)反映了信號(hào)的極性。
▲ 聲音信號(hào)過(guò)零點(diǎn)采樣
當(dāng)然，這個(gè)信號(hào)中包含有原來(lái)信號(hào)的部分信息。但它并不是原來(lái)語(yǔ)音信號(hào)的完美的回復(fù)。
盡管如此，播放這個(gè)信號(hào)，還是可以聽(tīng)到原來(lái)語(yǔ)音的信息。雖然有很大的失真和噪聲。這說(shuō)明原來(lái)的信號(hào)信息還是部分保留在這些過(guò)零點(diǎn)中。
經(jīng)過(guò)比較器之后的語(yǔ)音信號(hào)為：
clipvoice2.wav來(lái)自TsinghuaJoking00:0000:27
如果語(yǔ)音信號(hào)滿(mǎn)足Logan定理的要求，那么理論上是可以恢復(fù)出原來(lái)的信號(hào)的。但如何來(lái)恢復(fù)？
如果信號(hào)本身是一個(gè)周期信號(hào)，也就是信號(hào)的頻譜是離散的頻譜。相對(duì)回復(fù)信號(hào)的算法比較簡(jiǎn)單。Sam Roweis等人在論文“Signal Reconstruction from Zero-Crossings"中給出了通過(guò)求解數(shù)據(jù)矩陣零空間向量的方法，來(lái)通過(guò)信號(hào)的過(guò)零時(shí)間點(diǎn)來(lái)重構(gòu)信號(hào)的方法。
重建算法
1. 基本原理
已知到信號(hào)具有倍頻窄帶頻譜，它的頻率范圍分布在?范圍內(nèi)。
▲ 倍頻信號(hào)頻譜示意圖
已知信號(hào)的周期，，以及個(gè)信號(hào)過(guò)零點(diǎn)：
重構(gòu)信號(hào)的計(jì)算步驟如下：
（1）計(jì)算相關(guān)參數(shù)：?以及?；
（2）構(gòu)造矩陣：?；
（3）尋找數(shù)據(jù)矩陣零空間向量：構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣，矩陣大小是。對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到。其中是空間上的正交矩陣，是空間上的正交矩陣。是奇異值向量，長(zhǎng)度為。
零空間向量是奇異值向量中最?。ɡ碚撋蠎?yīng)該為0，但由于計(jì)算誤差的存在，它可能是一個(gè)很小的數(shù)）對(duì)應(yīng)的中的向量，由于SVD算法往往把結(jié)果按照絕對(duì)值從大到小排列，所以的最后一個(gè)向量就對(duì)應(yīng)著數(shù)據(jù)矩陣的零空間向量。
（4）構(gòu)造信號(hào)函數(shù)：將數(shù)據(jù)空間矩陣中零空間向量前個(gè)數(shù)值當(dāng)做，后個(gè)數(shù)值當(dāng)做，重建信號(hào)公式為：
這種回復(fù)信號(hào)的過(guò)程，實(shí)際上就是根據(jù)信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)來(lái)求解上面的函數(shù)中的參數(shù)。具體的理論分析在這里就不再展開(kāi)了。
2. 測(cè)試函數(shù)
（1）實(shí)驗(yàn)信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：
選擇一個(gè)頻率分布在10Hz到20Hz之間的一個(gè)信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)指定對(duì)應(yīng)的cos,sin信號(hào)的系數(shù)，如下：
▲ 信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式
這是一個(gè)周期為1的倍頻信號(hào)。
（2）信號(hào)的產(chǎn)生Python程序：
使用下面python程序，可以產(chǎn)生該信號(hào)的數(shù)據(jù)。也可以通過(guò)該函數(shù)完搜索信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)。
def sfunc1(x):? ? pi2 = 2 * pi? ? retdata? = cos(pi2*11*x) + sin(pi2*11*x)/2 + \? ? ? ? ? ? cos(pi2*12*x)/33 + sin(pi2*12*x)/4 + \? ? ? ? ? ? cos(pi2*13*x) + sin(pi2*13*x)/8 + \? ? ? ? ? ? cos(pi2*14*x) + sin(pi2*14*x)/7 + \? ? ? ? ? ? cos(pi2*15*x)/22 + sin(pi2*15*x)/3 +\? ? ? ? ? ? cos(pi2*16*x) + sin(pi2*16*x)/12 +\? ? ? ? ? ? cos(pi2*17*x) + sin(pi2*17*x)/40 +\? ? ? ? ? ? cos(pi2*18*x) + sin(pi2*18*x)/2 +\? ? ? ? ? ? cos(pi2*19*x)/3 + sin(pi2*19*x)/2? ? return retdata
（3）實(shí)驗(yàn)信號(hào)的波形：
下面繪制出0~2秒兩個(gè)周期內(nèi)的波形。
▲ 測(cè)試函數(shù)sfunc1信號(hào)波形
繪制該信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)飽和信號(hào)，它僅僅保留了該信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)的時(shí)間和相位信息。計(jì)算公式為：
▲ 該信號(hào)的幅值飽和信號(hào)
（4）信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)：
通過(guò)數(shù)值計(jì)算，來(lái)獲得信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)。下面重新繪制出信號(hào)一個(gè)周期內(nèi)的波形，沒(méi)有添加任何噪聲。
▲ 一個(gè)周期（0~1）之間的信號(hào)波形
通過(guò)對(duì)區(qū)間(0,1)采集10^6^個(gè)數(shù)值，然后通過(guò)尋找過(guò)零點(diǎn)，獲得二十八個(gè)信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)的值。
搜尋函數(shù)值過(guò)零點(diǎn)的python程序如下crosszero(t,val)。其中是函數(shù)的自變量，是函數(shù)值的采樣。函數(shù)返回是對(duì)應(yīng)函數(shù)過(guò)零點(diǎn)時(shí)的的數(shù)值。
def crosszero(t, val):? ? valsign = sign(val)? ? valsignchange = [int(x!=y) for x,y in zip(valsign[0:-1],valsign[1:])]? ? tvalue = [(x,y) for x,y in zip(t[0:-1], valsignchange)]? ? zerot = filter(lambda t: t[1]!= 0, tvalue)? ? return [zt[0] for zt in zerot]
通過(guò)scipy.optimize.root來(lái)尋找信號(hào)的根，用于確定信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)。利用上面搜索的結(jié)果作為初始值。
sol = scipy.optimize.root(tssub.sfunc1, czt, method='lm')
tssub.sfunc1：定義的信號(hào)函數(shù)；
czt：是前面通過(guò)數(shù)值過(guò)零點(diǎn)搜索獲得的28個(gè)根的數(shù)值；
如下是sol['x']中的數(shù)值，包含了最終優(yōu)化后的數(shù)值，對(duì)比前面通過(guò)搜索獲得數(shù)值，可以看到基本上在10^-6^的內(nèi)存在一定的誤差。
將通過(guò)數(shù)值計(jì)算所得到的28個(gè)函數(shù)的根繪制在信號(hào)波形上，看到他們的分布。
▲ 尋找到的信號(hào)過(guò)零點(diǎn)
3. 重建結(jié)果
根據(jù)前面所敘述的方法，使用28個(gè)過(guò)零點(diǎn)信息重構(gòu)出的信號(hào)波形如下圖所示。重構(gòu)的信號(hào)與原始的信號(hào)之間波形基本一致，只是相差了一個(gè)比例因子。
▲ 重建的波形結(jié)果
前面實(shí)驗(yàn)中的程序和數(shù)據(jù)可以在CSDN博文中看到。
http://zhuoqing.blog.csdn/net
