基本概念

剛體

力

力矢量

位置矢量

力系

匯交力系

平行力系

任意力系

力系等效

分布力

體力

面力

線分布力

集中力

矢量

取模

數乘

點乘（內積、標量積）

叉乘

$\begin{aligned} c=\left|\begin{array}{ccc}{i} & {j} & {k} \\ {a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right|&=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) i+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) j+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) k \end{aligned}$

向量幾何分解說明
$\begin{aligned} \mathbf{u} \times \mathbf{v}=&\left(u_{1} \mathbf{i}+u_{2} \mathbf{j}+u_{3} \mathbf{k}\right) \times\left(v_{1} \mathbf{i}+v_{2} \mathbf{j}+v_{3} \mathbf{k}\right) \\=& u_{1} v_{1}(\mathbf{i} \times \mathbf{i})+u_{1} v_{2}(\mathbf{i} \times \mathbf{j})+u_{1} v_{3}(\mathbf{i} \times \mathbf{k})+\\ & u_{2} v_{1}(\mathbf{j} \times \mathbf{i})+u_{2} v_{2}(\mathbf{j} \times \mathbf{j})+u_{2} v_{3}(\mathbf{j} \times \mathbf{k})+\\ & u_{3} v_{1}(\mathbf{k} \times \mathbf{i})+u_{3} v_{2}(\mathbf{k} \times \mathbf{j})+u_{3} v_{3}(\mathbf{k} \times \mathbf{k}) \end{aligned}$

$\mathbf{i} \times \mathbf{i}=\mathbf{j} \times \mathbf{j}=\mathbf{k} \times \mathbf{k}=\mathbf{0} \\ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{i} \times \mathbf{j}&=\mathbf{k}\\ \mathbf{j} \times \mathbf{k}&=\mathbf{i}\\ \mathbf{k} \times \mathbf{i}&=\mathbf{j} \end{aligned} \right. \left\{ \begin{aligned} \mathbf{j} \times \mathbf{i}&=\mathbf{-k}\\ \mathbf{k} \times \mathbf{j}&=\mathbf{-i}\\ \mathbf{i} \times \mathbf{k}&=\mathbf{-j} \end{aligned} \right.$

說明：例如 $\mathbf{i} \times \mathbf{j}=\mathbf{k}$ ，四指從x正向旋轉到y正向，右手大拇指指向z的正向所以為 $\mathbf k$

叉乘所得向量的取模即是兩向量所成平行四邊形的面積

混合積

$d=\left[\begin{aligned}{\mathbf a,\mathbf b, \mathbf c}\end{aligned}\right]=(\mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c=\mathbf a \cdot(\mathbf b \times \mathbf c)\\ d=\left|\begin{array}{lll}{a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}} \\ {c_{x}} & {c_{y}} & {c_{z}}\end{array}\right|$
$d$ 為平行六面體體積

靜力學公理

力的平行四邊形公理

二力平衡公理

加減平衡力系公理

在作用于剛體的力系上增加或除去一個平衡力系，不改變原力系對剛體的作用。

若 $\left(\mathbf{Q}_{1}, \mathbf{Q}_{2}, \ldots, \mathbf{Q}_{m}\right) \sim \mathbf0$ ，則 $\left(\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots, \mathbf{F}_{n}\right)+\left(\mathbf{Q}_{1}, \mathbf{Q}_{2}, \ldots, \mathbf{Q}_{m}\right) \sim\left(\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots, \mathbf{F}_{n}\right)$

其中 $\mathbf 0$ 為平衡力系

作用與反作用公理

剛化公理

力矩與力偶

力對點之矩

$\begin{aligned} \boldsymbol{m}_{o}(\boldsymbol{F})&=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}=\left|\begin{array}{ccc}{\boldsymbol{i}} & {\boldsymbol{j}} & {\boldsymbol{k}} \\ {x} & {y} & {z} \\ {F_{x}} & {F_{y}} & {F_{z}}\end{array}\right|\\&=\left(y F_{z}-z F_{y}\right) \boldsymbol i+\left(z F_{x}-x F_{z}\right) \boldsymbol j+\left(x F_{y}-y F_{x}\right) \boldsymbol{k} \end{aligned}$

力對軸之矩

$m_{z}(\boldsymbol{F})=\left(\boldsymbol{r}_{x y} \times \boldsymbol{F}_{x y}\right) \cdot \boldsymbol{k}$

力對軸的力矩為對該軸上任意點的力矩對該軸的投影，而投影可以通過點乘軸的單位矢量來實現，所以需要求出該軸的單位矢量即可
力與軸共面（平行或相交）時，力對軸之矩為零
當力沿其作用線滑動時（力所在的射線），力對軸之矩不變

力偶

定義：大小相等、方向相反、不共線的二平行力組成的力系
性質：
- 力偶無平移效應，只有純轉動效應。
- 力偶無合力（不能與單個力等效或平衡）。
- 力偶與力一樣都是最簡單的力系。

力偶矩

$\begin{aligned} \boldsymbol{m}_{O}\left(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{F}^{\prime}\right) &=\boldsymbol{m}_{O}(\boldsymbol{F})+\boldsymbol{m}_{O}\left(\boldsymbol{F}^{\prime}\right) \\ &=\boldsymbol{r}_{A} \times \boldsymbol{F}+\boldsymbol{r}_{B} \times(-\boldsymbol{F}) \\ &=\left(\boldsymbol{r}_{A}-\boldsymbol{r}_{B}\right) \times \boldsymbol{F}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \end{aligned}$

性質：

力偶矩與矩心無關，力偶使剛體繞任意點的轉動效應相同

力偶的等效定理

若作用在剛體上兩力偶的力偶矩矢量相等，則兩力偶等效

推論：

力偶的作用面可平行移動
力偶在其作用面內可任意轉動
只要保持力偶矩矢量不變，可同時改變力偶中力與力臂的大小
力偶矩矢量是自由矢量
同一平面內的兩力偶，若其力偶矩的代數值相等，則兩力偶等效。
- 若確定平面，則力偶的方向確定為垂直于平面，其正負即可表示方向，所以代數值即可判定兩力偶是否相等。

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