P

L是{0, 1}* 的子集, 如果對任意的輸入串x, 算法都能在多項式時間內判定(decide)x是否屬于L, 則我們說算法能判定L, 這個語言L是P.
P = {L是{0, 1}※ 的子集, 存在著一個算法A, 可以在多項式時間內判定L};

NP

能夠被多項式時間內算法A驗證(verify)的語言L是NP問題. 也就是說, 給定了輸入串x和一個猜測解y, 能夠用某算法A在多項式時間內給出是1或者0, 1代表x∈L, 0代表x?L. 這個語言L就是屬于NP問題(Non Polynomial Deterministic Problem)

形式化定義:
一個語言L ∈ NP 當且僅當:
存在有兩個輸入的多項式時間算法A和常數c，使得
L = {x∈{0, 1}* : 存在一個證書(一個可滿足解)y，其長度 |y| = O(|x|c)， 并使得A(x, y) = 1}.

L has a polynomial-time verifier, an algorithm V with the property that x ∈ L if and only if V accepts (x, y) for some y.

比如哈密頓回路問題: Ham-Cycle = {<G>: G is a HamGraph with a Ham cycle}

若某人給定了一個圖G和一個環(也許是A-B-E-C-D-A), 聲稱該環為哈密頓回路, 我們可以很容易地設計一個簡單的算法: "直接驗證環上的點是否是包含了所有的圖上的點, 以及這個環上的邊是否確實在圖中都存在."
這個算法將判定這樣的有(G和環)的二輸入是否是滿足L = "圖擁有哈密頓回路".

也就是說, 對L來說, 存在一個兩輸入的多項式時間算法A(x, y), 能夠驗證某特定輸入(x, y)是屬于L的.

NPC

NPC是NP中最難的語言, 如果任意一個NP完全問題(NPC問題)能夠在多項式時間內得到解決, 那么NP中每一個問題都存在一個多項式解, 實現P = NP

證明某種語言L是NP完全語言的方法

(1)先驗證L∈NP; //對一個串x, 存在一個多項式級別長度的解y, 能用一個多項式級別時間復雜度的算法A來verify ;

• Thus, we can verify CIRCUIT-SAT in polynomial time, and CIRCUIT-SAT ∈ NP. (CLRS)
  (2)規約: 把L'能夠用多項式時間內的f映射到L, 說明L'<=L(L比已知的NPC還難), 加上已知L'是NP, 那么L必然是NP完全的;

幾個重要的NPC問題的邏輯鏈

• CircuitSAT-->SAT-->3-CNF-SAT-->Clique-->VertexCover-->HamCycle-->TSP(旅行商問題)

1. CircuitSAT to SAT

布爾公式是可滿足的
(1)SAT ∈ NP:
給定證書時多項式時間內可驗證: 給定一個布爾公式x, 給定一個一個證書輸入y, 比如y={1, 1, 1}, 然后按照布爾公式的數學運算規則, 那么我們就能在多項式時間內求解出來, 從而看到是否這個(x, y)能夠得到1, 如果能得到, 那么其就是被滿足了. 無論其最后是否被滿足, 我們都能在多項式時間內驗證出來.
(2)CircuitSAT能在多項式時間內規約為SAT問題
只要把電路中的x1, x2, x3每一個輸入都用一個布爾變元表達, 然后每一個邏輯門都用一個布爾公式來對應, 那么就能在多項式時間內把CircuitSAT問題轉化為SAT問題. 因此, CircuitSAT < SAT. SAT比已知為NPC的問題還難, 因此SAT也是NPC.

2. SAT to 3-CNF-SAT

合取范式形式的布爾公式的可滿足性問題是NP完全的.
(1) 3-CNF-SAT ∈ NP:
給定證書時多項式時間內可驗證: 類似SAT問題, 給定一個合取范式, 我們給定一個證書輸入y, 然后按照數學運算規則, 那么我們能在多項式時間內得知整個合取范式的最后值是否為1.
(2) SAT能在多項式時間內規約為3-CNF-SAT:
通過如下步驟, 每個布爾公式都能成功地被轉化為合取范式.
a. 畫二叉語法分析樹, 從而寫出改寫出一個合取范式(每個子句都是被滿足才能整個式子成立), 但是此時子句里面還沒有都變成析取;
b. 用真值表, 把表中所有子句最后能取0的項都拼出來, 就構成了一個析取范式AVBVC... (記得我們本來應該取的是表中子句最后值為1的情況, 這為接下去取反留了伏筆)
c. 用德摩根律取反析取范式, 從而得到CNF
d. 添加p, q的正反形式, 從而在每個子句湊夠三個變元;

可以看到, 所有的SAT都能在多項式時間內(每一步有確定有限大小的步驟, 而不是n^n這樣)的操作完成轉化為3-CNF. 因此SAT<3-CNF-SAT, 從而3-CNF-SAT是NPC的.

3. Clique團問題

尋找圖中規模最大的圖案的最優化問題.
其等價的判定問題是CLIQUE = {<G, k>: G是一個包含規模為k的團}
證明團問題是NPC:
(1) Clique∈NP:
對于一個給定的圖G=(V, E), 如果給定某頂點集V'作為G的一個證書, 那么我們可以檢查任意一對頂點u, v∈V', 通過檢查邊(u, v)是否屬于E(記得團的要求是該頂點集兩兩之間都得有邊), 就可以在多項式時間內確定V'是否是一個團. C(n, 2) = O(n^2), 這是n的多項式時間.
(2) 把3-CNF-SAT規約到Clique:
通過如下步驟
給定一個含有k個子句的實例, 假定其是可滿足的, 我們總是可以構造一個包含3k個頂點的圖, 其中最大團是包含k個頂點. 構造方法: 不在同一個三元組, 且不是自己的非的結點之間連線.
那么我們知道一共會有k個分組, 每個分組之間不能相連, 且這個式子是可滿足的, 因此每個分組必須出一個1, 只要把這個取1的元素和其他每個組取1的元素連接起來, 就是最大團. 而且最大團會有k個結點最后.
這個過程中只需要按照構造方法連線即可, 時間復雜度是O(C<n, 2>) = O(n^2)

4. Vertex Cover頂點覆蓋問題

描述: 在一個給定的圖中, 找出具有最小規模的頂點覆蓋. 可以把這個最優化問題描述為一個判定問題, 即一個圖是否具有一個給定規模k的頂點覆蓋.
證明:
(1) VC∈NP:
(2) 把Clique規約到VC:
任意一個給定的Clique圖G(V, E), 設其的最大團是V', 我們可以取其補圖(原來有邊變成沒邊, 沒邊變成有邊), 即可獲得V-V'為一個頂點覆蓋.

這是因為取任意的一條邊(u, v)自E', 那么在G中, u, v點原本是不相連的, 那么u或者v至少有一個是不屬于最大團V'中的, 即u或者v至少有一個是屬于V-V'的. 注意到(u, v)是我們任意取自E'的, 從而可知在G的補圖里面, 任意的一條邊上, 都有至少一個點是屬于V-V'的, 那么V-V'就是一個頂點覆蓋!!!

5. 哈密頓回路

無向圖G中的哈密頓回路是指能通過V中每個頂點的簡單回路.
哈密頓回路問題: 圖G中是否有一條哈密頓回路(過所有點的簡單回路).
證明很復雜, 我們只要知道Ham-Cycle問題是一個NPC即可.

6. 旅行商問題

描述: 售貨員希望進行一次巡回旅行, 走一個哈密頓回路, 最后回到除法的城市, 從城市i到城市j的旅行費用為一個整數c(i, j), 旅行所需費的總費用是旅行經過的各邊的費用之和, 而售貨員希望使整個旅行費用最低. (最優化問題)
判定形式語言是: 圖G中存在一個最大花費為k的旅行回路.
這是一個NPC.
證明:
(1) TSP∈NP:
給定一個圖G, 限定最大花費為k, 那么給定一個證書y(y在這里是一個路線, 一個頂點的序列), 我們將可以檢查: a, 該序列y包含且只包含了所有V中頂點一次. b, 該序列上的相鄰頂點兩兩之間在圖上是否有邊 c,對序列y上的邊的費用進行求和, 看是否在k之內. 這個過程是一個多項式時間內的算法, T = O(V).
(2) 把哈密頓回路問題歸約到TSP:
對每一個哈密頓回路的一個實例G(V, E), 我們都可以構造這樣一個TSP的圖G'(V, E'), E' = {(i, j), 只要i!=j, i, j∈V};
c(i, j) = 0, if (i, j)∈E (E這里是哈密頓回路的邊集合)
c(i, j) = 1, if (i, j) = 1 if (i, j)?E.

然后求解TSP圖G'上的限定最大花費為0的旅行路線.
顯然這個構造的時間復雜度是O(V^2), 是多項式時間內的算法.