旋轉數組的最小數字
題目
給定一個遞增的旋轉數組A，返回旋轉數組中的最小值。旋轉數組：給定一個已排序的數組，假設為升序，想象數組是一個環形數組，向左或向右撥動數組，即可形成旋轉數組。
解析
如果采用遍歷一次數組A的方式以查找該元素是否在旋轉數組A中，時間復雜度為O(n)，這么簡單、直觀的解法顯然不能令面試官滿意，因為沒有利用到旋轉數組的特性。旋轉數組實際上可以劃分為兩個已排序的子數組，而且前面的子數組的元素都大于或者等于后面子數組的元素，并且后面子數組的第一個元素（數組中的最小元素）剛好是這兩個子數組的分界線。在已排序的數組中，通過二分法可以實現O(lgn)的查找，對于旋轉數組，也可以試著用二分查找法來尋找這個最小的元素。
和二分查找法一樣，用兩個指針分別指向數組的第一個元素和最后一個元素，根據旋轉數組的特性（假設旋轉前的數組是增序），數組的第一個元素應該是大于或者等于最后一個元素；接著可以找到數組中間的元素，如果該中間元素位于前面的遞增子數組，那它應該大于或者等于第一個指針指向的元素，此時數組中最小的元素應該位于該中間元素的后面，所以為了縮小范圍，應把第一個指針指向該中間元素，此時，第一個指針仍然位于前面的遞增子數組中。
同樣，如果中間元素位于后面的遞增子數組，那它應該小于或者等于第二個指針指向的元素，此時該數組中最小的元素應該位于該中間元素的前面，為了縮小范圍，應把最后一個指針指向該中間元素，此時，第二個指針仍然位于后面的遞增子數組中。
由此可見，不管是移動第一個指針還是第二個指針，查找范圍都會縮小到原來的一半，接下來可再用更新后的兩個指針，重復做新一輪的查找。那最終情況會如何呢？因為二分查找法，是不斷地逼近要查找的元素，所以兩個指針會離待查找元素越來越近，所以查找最小元素時，第一個指針會一直在前面遞增的子數組中，第二個指針會一直在后面遞增的子數組中，最終情況就是第一個指針會指向數組中的最大元素（前面子數組的最后一個元素），第二個指針會指向數組中的最小元素（后面數組的第一個元素）。這就是循環結束的條件！
特例一 - 旋轉數組未旋轉
旋轉數組的定義中，是將已排序的數組的前幾個元素放到最后面，但是，如果是把前0個元素放到最后面，即旋轉數組未旋轉，此時仍是已排序的數組，但不再滿足通常旋轉數組第一個元素大于、等于最后一個元素的情況，而是第一個元素小于最后一個元素。所以，如果發現第一個元素小于最后一個元素，即可確認旋轉數組未旋轉，第一個元素即是最小元素。
特例二 - 左、右、中三者元素相等
該問題中，如果第一個指針、第二個指針及中間指針所指向的元素都相等時，無法判斷最小元素位于前面的子數組還是后面的子數組中。比如，對于原數組{0，1，1，1，1，1}來說，數組{1，0，1，1，1，1}和{1，1，1，1，0，1}都是它的旋轉數組，若left = 0，right = array.len-1，mid = (left+right)/2，兩個數組中都有array[left] = array[right] = array[mid]，但最小元素位于不同的子數組中；一般情況下，通過比較array[mid]和array[left]、array[right]的大小，可以確定array[mid]所處的位置——前面的子數組或后面的子數組，但三者相等時，無法再判斷array[mid]的位置，所以無法確定數組的最小元素在哪一個子數組中。
所以，在三者相等時，只有采用順序查找的方法，確定最小元素的位置。
源碼
using namespace std;
/*!
* \brief find_min
* 找到旋轉數組中的最小值并返回
* \param array
* 旋轉數組
* \param len
* 旋轉數組長度
* \return
* 旋轉數組中的最小值
*/
int find_min(int* array, int len)
{
//判斷輸入的有效性
if(array == NULL || len <= 0)
{
cout << "Input Error!"<< endl;
return -1;
}
//特例1，旋轉數組未旋轉
if(array[0] < array[len-1])
{
cout << "In rotated array, min num is " << array[0] << endl;
return array[0];
}
int left = 0, right = len-1;
int mid = (left+right)/2;
//采用二分查找法查找循環數組最小數，結束時left指針
//指向數組中的最大值，right指向數組中的最小值
while(right-left != 1)
{
if(array[left] < array[mid])
{
left = mid;
}
else if(array[right] > array[mid])
{
right = mid;
}
//特例2：左、中、右三個元素相等，采用順序查找法
else if(array[left] == array[mid] && array[mid] == array[right])
{
int min = array[left];
for(int i = left+1; i <= right; i++)
{
if(min > array[i])
{
min = array[i];
}
}
cout << "In rotated array, min num is " << min << endl;
return min;
}
mid = (left+right)/2;
}
cout << "In rotated array, min num is " << array[right] << endl;
return array[right];
}
阿里面試 - 在旋轉數組中查找某個數
題目
給定一個旋轉數組A，和一個待查找元素m，如果m在旋轉數組A中，返回A中該元素的下標；如果m不在旋轉數組A中，返回-1。
解析
通過上面的分析，可以得到旋轉數組中的最小值，也可以得到它的下標，通過比較待查找元素與數組中第一個元素和最后一個元素的大小，確定待查找元素落在哪個子數組區間內，然后再用二分查找法查找某個區間，存在就返回它的下表；不存在就返回-1。
源碼
/*!
* \brief find_min_index
* 返回旋轉數組中的最小元素的下標
* \param array
* 旋轉數組
* \param len
* 旋轉數組長度
* \return
* 最小元素的下標
*/
int find_min_index(int* array, int len)
{
//判斷輸入的有效性
if(array == NULL || len <= 0)
{
cout << "Input Error!"<< endl;
return -1;
}
//特例1，旋轉數組未旋轉
if(array[0] < array[len-1])
{
cout << "In rotated array, min_index is 0" << endl;
return 0;
}
int left = 0, right = len-1;
int mid = (left+right)/2;
//采用二分查找法查找循環數組最小數，結束時left指針
//指向數組中的最大值，right指向數組中的最小值
while(right-left != 1)
{
if(array[left] < array[mid])
{
left = mid;
}
else if(array[right] > array[mid])
{
right = mid;
}
//特例2：左、中、右三個元素相等，采用順序查找法
else if(array[left] == array[mid] && array[mid] == array[right])
{
int min_index = left;
for(int i = left+1; i <= right; i++)
{
if(array[min_index] > array[i])
{
min_index = i;
}
}
cout << "In rotated array, min_index is " << min_index << endl;
return min_index;
}
mid = (left+right)/2;
}
cout << "In rotated array, min_index is " << right << endl;
return right;
}
/*!
* \brief binary_search
* 二分查找算法
* \param p
* 待查找數組
* \param left
* 起始查找位置
* \param right
* 結束查找位置
* \param m
* 待查找元素
* \return
* 成功，返回元素下標；失敗，返回-1.
*/
int binary_search(int* p, int start, int end, int num)
{
int left = start;
int right = end;
int mid = (left+right)/2;
while(right-left != 1)
{
if(num > p[mid])
{
left = mid;
}
else if(num < p[mid])
{
right = mid;
}
else
{
cout << "Find m! Its index is " << mid << endl;
return mid;
}
mid = (left+right)/2;
}
if(num != p[right])
{
return -1;
}
cout << "Find m! Its index is " << right << endl;
return right;
}
/*!
* \brief find_num
* 在旋轉數組中查找元素m，若數組中存在該元素，則返回它的下標；
* 如果不存在，則返回-1.
* \param p
* 旋轉數組指針
* \param len
* 旋轉數組長度
* \param m
* 待查找元素
* \return
* 成功，返回元素下標；失敗，返回-1.
*/
int find_num(int* p, int len, int m)
{
if(p == NULL || len < 0)
{
return -1;
}
int min_index = find_min_index(p, len);
if(min_index == 0)
{
if(m < p[0] || m > p[len-1])
{
return -1;
}
return binary_search(p, 0, len-1, m);
}
if(m < p[min_index] || m > p[min_index-1])
{
return -1;
}
if(m >= p[0])
{
return binary_search(p, 0, min_index-1, m);
}
else if(m < p[len-1])
{
return binary_search(p, min_index, len-1, m);
}
}
