重新考察曲線擬合問題

局限性

從概率的角度看多項(xiàng)式曲線擬合。

我們要假定：給定x的值，對(duì)應(yīng)的t值服從高斯分布，分布的均值為y(x,w)：

我們現(xiàn)在使用訓(xùn)練數(shù)據(jù){x, t}，通過最大似然方法，來決定參數(shù)w和\beta的值，似然函數(shù)為：


對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

通過略去最后兩項(xiàng)，因?yàn)樗鼈兒?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=w" alt="w" mathimg="1">無關(guān)，以及便于數(shù)學(xué)計(jì)算進(jìn)行數(shù)字代換后：


為精度參數(shù)。

我們又一次：
首先確定控制均值的參數(shù)向量w_{ML}，然后使用這個(gè)結(jié)果來尋找精度\beta_{ML}。

已經(jīng)確定了w和\beta，那么我們可以對(duì)新的x值進(jìn)行預(yù)測(cè)。
預(yù)測(cè)分布通過最大似然參數(shù)代入公式給出：

現(xiàn)在我們朝著貝葉斯的方向前進(jìn)一步，引入在多項(xiàng)式系數(shù)w上的先驗(yàn)分布：


其中是分布的精度，是對(duì)于階多項(xiàng)式的向量的元素的總數(shù)。使用貝葉斯定理，的后驗(yàn)概率正比于先驗(yàn)分布和似然函數(shù)的乘積：

因此，給定數(shù)據(jù)集，我們現(xiàn)在通過尋找最可能的值（即最大化后驗(yàn)概率）來確定，這種技術(shù)被稱為最大后驗(yàn)，簡(jiǎn)稱MAP。

因此最大化后驗(yàn)概率就是最小化下式：


因此正則化參數(shù)就是：\lambda = \frac{\alpha}{\beta}

1.2.6貝葉斯曲線擬合

在曲線擬合中，我們知道訓(xùn)練數(shù)據(jù)x和t，對(duì)于一個(gè)新的測(cè)試點(diǎn)x_1，我們想預(yù)測(cè)出t_1，因此我們想估計(jì)預(yù)測(cè)分布：p(t|x1, x, t)，因此簡(jiǎn)單的說，貝葉斯分布就是使用概率的加和規(guī)則和乘積規(guī)則，將概率預(yù)測(cè)寫成以下形式：


其中：

通過解析求解，預(yù)測(cè)分布的高斯形式為：


其中，均值和方差分別為：

這里矩陣S由下式給出：

其中為單位矩陣。

1.3 模型選擇

在許多實(shí)際應(yīng)用中，訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)都是有限的，為了簡(jiǎn)歷更好地模型，我們想盡可能多的可得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練。解決這種困境的方法就是使用交叉驗(yàn)證。

這種方法能夠讓可得到的數(shù)據(jù)的\frac{s-1}{s}用于訓(xùn)練，同時(shí)使用所有的數(shù)據(jù)來評(píng)估表現(xiàn)，當(dāng)數(shù)據(jù)比較稀疏的時(shí)候，考慮S=N的情況很合適，其中N是數(shù)據(jù)點(diǎn)的總數(shù)，這種方法叫作“留一法”。

交叉驗(yàn)證的一個(gè)缺點(diǎn)是：需要訓(xùn)練的次數(shù)隨著S的增加而增加，這對(duì)于訓(xùn)練本身很耗時(shí)的問題來說是個(gè)大問題。因此我們需要找到一種模型表現(xiàn)的度量，它只依賴于訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并且不會(huì)由于過擬合產(chǎn)生偏移的問題。

增加一個(gè)懲罰項(xiàng)來補(bǔ)償過于復(fù)雜的模型造成的過擬合。

例如：赤池信息準(zhǔn)則（AIC）


其中，p(D|w_{ML})是最合適的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，M是模型中可調(diào)節(jié)參數(shù)的數(shù)量。這個(gè)量是一個(gè)變體，被稱為貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）。

1.4維度災(zāi)難



通過上升維度的方法進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)簽的劃分存在很多問題：
如果我們把空間的區(qū)域劃分為一個(gè)個(gè)的單元格，那么這些單元格的數(shù)量會(huì)隨著空間的維數(shù)以指數(shù)的形式增大。

指數(shù)級(jí)遞增！

我們?cè)谌S空間中建立的幾何直覺會(huì)在考慮高維空間時(shí)不起作用。例如，考慮D維空間的一個(gè)半徑r = 1的球體，請(qǐng)問，位于半徑r = 1- ?和半徑r = 1之間的部分占球的總體積的百分比是多少？我們注意到，D維空間的半徑為r的球體的體積一定是r^D的倍數(shù)，因此我們有：


其中常數(shù)值依賴于。因此我們要求解的體積比就是：


結(jié)合上圖發(fā)現(xiàn)：

在高維空間中，一個(gè)球體的大部分體積都聚集在表面附近的薄球殼上。


image.png

高維空間產(chǎn)生的這種困難被稱為維度災(zāi)難。因此需要注意的是：不是所有在低維空間的直覺都可以推廣到高維空間。

雖然維度災(zāi)難在模式識(shí)別應(yīng)用中是一個(gè)重要的問題，但是它并不能阻止我們尋找高維空間的有效技術(shù)。原因有兩個(gè)方面：
1.真實(shí)的數(shù)據(jù)經(jīng)常被限制在有著較低的有效維度的空間內(nèi)，特別地，在目標(biāo)值發(fā)生重要變化的方向上也會(huì)有這種限制。
2.真實(shí)數(shù)據(jù)往往比較光滑，因此在大多數(shù)情況下，對(duì)于輸入變量微小的變化，目標(biāo)值的改變也很小，因此對(duì)于新的輸入變量，我們可以通過局部的類似插值的技術(shù)來進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1.5 決策論

我們已經(jīng)在1.2節(jié)中看到了概率論是如何提供給我們一個(gè)自始至終的數(shù)學(xué)框架來量化和計(jì)算不確定性。當(dāng)決策論與概率論結(jié)合起來的時(shí)候，我們能夠在不確定性的情況下做出最優(yōu)的決策。

假設(shè)我們有一個(gè)輸入向量x和對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值向量t，我們的目標(biāo)就是對(duì)于一個(gè)新的x值，預(yù)測(cè)t。

決策論的主題：在給定合適的概率的前提下，如何進(jìn)行最優(yōu)的決策。

利用貝葉斯定理：


注意：出現(xiàn)在貝葉斯定理中的任意一個(gè)量都可以從聯(lián)合分布中得到，要么通過積分的形式，要么通過關(guān)于某個(gè)合適的變量求條件概率。我們現(xiàn)在把稱為類的先驗(yàn)概率， 把稱為對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)概率。

1.5.1 最小化錯(cuò)誤分類率

我們的目標(biāo)很簡(jiǎn)單：盡可能少地作出錯(cuò)誤的分類。我們需要一個(gè)規(guī)則將每個(gè)x的值劃分到一個(gè)合適的類別，這種規(guī)則將輸入空間切分成不同的區(qū)域R_k，這種區(qū)域被稱為決策區(qū)域。決策區(qū)域間的邊界被稱為決策邊界或者決策面。
我們把C_1錯(cuò)誤分為C_2的概率為：

很明顯，為了最小化p(mistake)，我們對(duì)于x的分類結(jié)果應(yīng)該讓上式的被積函數(shù)盡量小，因此，對(duì)于給定的x值，如果p(x, C_1) > p(x, C_2)，那么我們就把x分到類別C_1中。根據(jù)概率的乘積規(guī)則，我們有p(x, C_k) = p(C_k|x)p(x) 。

因此我們可以這樣表述：
如果我們把每個(gè)x分配到后驗(yàn)概率p(C_k|x)最大的類別中，那么我們分類錯(cuò)誤的概率就會(huì)最小。

對(duì)于更一般的K類的情形，最大化正確率會(huì)稍微簡(jiǎn)單一些，即最大化下式：


當(dāng)區(qū)域R_k的選擇使得每個(gè)x都被分到使p(x, C_k)最大的類別中，上式取得最大值。再一次使用乘積規(guī)則p(x, C_k) = p(C_k|x)p(x)，并且注意到因子p(x)對(duì)于所有項(xiàng)都相同，我們可以看到每個(gè)x都應(yīng)該被分到有著最大后驗(yàn)概率p(C_k|x)的類別中。

1.5.2最小化期望損失

對(duì)于不同的實(shí)際問題，我們對(duì)于錯(cuò)誤的容忍度不同。我們可以通過損失函數(shù)來形式化的描述這些問題，損失函數(shù)也被稱為代價(jià)函數(shù)，是對(duì)于所有可能的決策或者動(dòng)作可能產(chǎn)生的損失的一種整體的度量。


這個(gè)特別的損失矩陣表明，如果我們做出了正確的決策，那么不會(huì)造成損失。如果健康人被診斷為患有癌癥，那么損失為1。但是如果一個(gè)患有癌癥的病人被診斷為健康，那么損失為1000。

最優(yōu)解是使損失函數(shù)最小的解。但是損失函數(shù)依賴于真實(shí)的類別，這是未知的，對(duì)于一個(gè)給定的歌輸入向量x，我們對(duì)于真實(shí)類別的不確定性通過聯(lián)合概率分布p(x, C_k)表示。因此，我們轉(zhuǎn)而去最小化平均損失，平均損失根據(jù)這個(gè)聯(lián)合概率分布計(jì)算，定義為：

每一個(gè)x可以被獨(dú)立地分到?jīng)Q策區(qū)域R_j中，我們的目標(biāo)是選擇區(qū)域R_j，來最小化區(qū)域R_j。這表明，對(duì)于每個(gè)x，我們要最小化\sum_kL_{kj}p(x, C_k)，和之前一樣我們可以使用乘積規(guī)則p(x,C_k) = p(C_k|x)p(x)來消除共同因子p(x)。因此，最小化期望損失的決策規(guī)則是對(duì)于每個(gè)新的x，把它分到能使下式取得最小值的第j類：

一旦我們知道了后驗(yàn)概率p(C_k|x)后，這件事就很容易了。

1.5.3 拒絕選項(xiàng)

例如：在醫(yī)療例子中，一種合適的做法是：使用自動(dòng)化系統(tǒng)來對(duì)那些毫無疑問的X光片進(jìn)行分類，然后把不容易分類的X光片留給人類的專家。我們可以使用以下方式實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的：

引入一個(gè)閾值\theta，拒絕后驗(yàn)概率p(C_k|x)的最大值小于等于\theta的那些輸入x。

注意：令\theta = 1會(huì)使所有樣本被拒絕，而如果有K個(gè)類別，那么令\theta < \frac{1}{K}將會(huì)確保沒有樣本被拒絕，因此被拒絕的樣本比例由\theta的值控制。

1.5.4 推斷和決策

我們已經(jīng)把分類問題劃分了兩個(gè)階段：
推斷階段和決策階段。

  • 推斷階段：使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)p(C_k|x)
  • 決策階段：使用后驗(yàn)概率來進(jìn)行最優(yōu)的分類

另一種可能的方法是同時(shí)解決兩個(gè)問題，即簡(jiǎn)單地學(xué)習(xí)一個(gè)函數(shù)，將輸入x直接映射為決策，這樣的函數(shù)被稱為判別函數(shù)。

事實(shí)上，我們可以區(qū)分出三種不同的方法來解決決策問題，這三種方法都已經(jīng)在實(shí)際問題中被采用，這三種方法按照復(fù)雜度降低的順序給出：
（a）首先對(duì)于每個(gè)類別C_k，獨(dú)立地確定類條件密度p(x|C_k)。這是一個(gè)推斷問題，然后，推斷先驗(yàn)類概率p(C_k)，之后，使用貝葉斯定理：


求出后驗(yàn)概率，和往常一樣，貝葉斯定理的分母可以用分子中出現(xiàn)的項(xiàng)表示，因?yàn)椋?div id="y5aoc5w" class="image-package">

等價(jià)地，我們可以直接對(duì)聯(lián)合概率分布p(x,C_k)建模，然后歸一化，得到后驗(yàn)概率，得到后驗(yàn)概率后，我們可以使用決策論來確定每個(gè)新的輸入x的類別，顯式地或者隱式地對(duì)輸入以及輸出進(jìn)行建模的方法被稱為生成式模型。

（b）首先解決確定后驗(yàn)類密度p(C_k|x)這一推斷問題，接下來使用決策論來對(duì)新的輸入x進(jìn)行分類。這種直接對(duì)后驗(yàn)概率建模的方法被稱為判別式模型。

（c）找到一個(gè)函數(shù)f(x)，被稱為判別函數(shù)，這個(gè)函數(shù)把每個(gè)輸入x直接映射為類別標(biāo)簽，這種情況下，概率不起作用。

讓我們考慮一下這三種算法的相對(duì)優(yōu)勢(shì)。算法(a)需要求解的東西最多，因?yàn)樗婕暗綄ふ以?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x" alt="x" mathimg="1">和C_k上的聯(lián)合概率分布。對(duì)于許多應(yīng)用，x的維度很高，這會(huì)導(dǎo)致我們需要達(dá)量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)才能在合理的精度下確定類條件概率密度。注意，先驗(yàn)概率p(C_k)經(jīng)常能夠根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集里的每個(gè)類別的數(shù)據(jù)點(diǎn)所占的比例簡(jiǎn)單地估計(jì)出來。但是，方法(a)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，它能夠通過公式（1.83）求出數(shù)據(jù)的邊緣概率密度p(x)。這對(duì)于檢測(cè)模型中具有低概率的新數(shù)據(jù)點(diǎn)很有用，對(duì)于這些點(diǎn)，模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率可能會(huì)很低。這種技術(shù)被稱為離群點(diǎn)檢測(cè)（outlier detection）或者異常檢測(cè)（novelty detection）（Bishop, 1994; Tarassenko, 1995）。
然而，如果我們只想進(jìn)行分類的決策，那么這種算法會(huì)浪費(fèi)計(jì)算資源。并且，實(shí)際上我們只是想求出后驗(yàn)概率p(C_k|x)（可以直接通過方法(b)求出），但是為了求出它，這種算法需要大量的數(shù)據(jù)來尋找聯(lián)合概率p(x,C_k)。事實(shí)上，類條件密度可能包含很多對(duì)于后驗(yàn)概率幾乎沒有影響的結(jié)構(gòu)，如圖1.27所示。

關(guān)于機(jī)器學(xué)習(xí)中的生成式算法和判別式算法的相對(duì)優(yōu)勢(shì)，以及如何將兩者結(jié)合，有很多研究成果（Jebara, 2004; Lasserre et al., 2006）。
對(duì)于方法（c），我們把推斷階段和決策階段結(jié)合到一個(gè)學(xué)習(xí)問題中了。在圖1.27給出的例子中，這對(duì)應(yīng)于綠色豎直線給出的x的值，因?yàn)檫@是給出最小錯(cuò)誤分類概率的決策邊界。
但是，使用方法(c)，我們不在能夠接觸到后驗(yàn)概率p(C_k|x)。

有很多強(qiáng)烈的理由需要計(jì)算后驗(yàn)概率，即使我們接下來要使用后驗(yàn)概率來進(jìn)行決策。這些理由包括：
1.最小化風(fēng)險(xiǎn)：如果我們只有一個(gè)判別規(guī)則，那么損失矩陣的任何改變都需要我們返回訓(xùn)練數(shù)據(jù)，重新分類解決問題。
2.拒絕選項(xiàng)：后驗(yàn)概率讓我們能夠確定最小化誤分類的拒絕標(biāo)準(zhǔn)，或者在更一般的情況下確定最小化期望損失的拒絕標(biāo)準(zhǔn)。
3.補(bǔ)償類先驗(yàn)概率
4.組合模型：對(duì)于更復(fù)雜的模型來說，我們可能希望把問題分解為若干個(gè)小的子問題，只要兩個(gè)模型都給出類別的后驗(yàn)概率，我們就能夠使用概率的規(guī)則系統(tǒng)化地輸出，完成這個(gè)步驟的前提是假設(shè)X光盤和血液類型的分布是獨(dú)立的，因此：



后驗(yàn)概率為：


因此我們需要先求出類先驗(yàn)概率p(C_k)，這可以通過估計(jì)每個(gè)類別的數(shù)據(jù)點(diǎn)所占的比例很容易地得到，之后我們需要對(duì)后驗(yàn)概率歸一化，使得后驗(yàn)概率之和等于1，注意，聯(lián)合邊緣分布p(x_I, x_B)在這個(gè)模型下通常不會(huì)被分解

1.5.5 回歸問題的損失函數(shù)

決策階段包括對(duì)每個(gè)輸入x，選擇一個(gè)對(duì)于t值的具體的估計(jì)y(x)，假設(shè)這樣做了以后，我們?cè)斐闪艘粋€(gè)損失L(t, y(x))，，平均損失就是：

回歸問題中，損失函數(shù)的一個(gè)通常的選擇是平方損失，定義為：L(t, y(x)) ={y(x) - t}^2，這種情況下，期望損失函數(shù)可以寫成：

我們的目標(biāo)是選擇y(x)來最小化E[L]，如果我們假設(shè)一個(gè)完全任意的函數(shù)y(x)，我們能夠形式化的使用變分法求解：

求解y(x)，使用概率的加和規(guī)則和乘積規(guī)則，我們得到：

這是在x的條件下t的條件均值，被稱為回歸函數(shù)（regression function）。結(jié)果如圖1.28所示。這個(gè)結(jié)果可以擴(kuò)展到多個(gè)目標(biāo)變量（用向量t）的情形。這種情況下，最優(yōu)解是條件均值y(x) = E_t[t |x]。

換一種方式推導(dǎo)：


為了不讓符號(hào)過于復(fù)雜，使用來表示，從而得到損失函數(shù)：

我們尋找的函數(shù)y(x)只出現(xiàn)在第一項(xiàng)中。當(dāng)y(x)等于E[t|x]時(shí)第一項(xiàng)取得最小值，這時(shí)第一項(xiàng)
會(huì)被消去。這正是我們之前推導(dǎo)的結(jié)果，表明最優(yōu)的最小平方預(yù)測(cè)由條件均值給出。第二項(xiàng)是t的分布的方差，在x上進(jìn)行了平均。它表示目標(biāo)數(shù)據(jù)內(nèi)在的變化性，可以被看成噪聲。由于
它與y(x)無關(guān)，因此它表示損失函數(shù)的不可減小的最小值。

三種解決回歸問題的方法：
(a)首先解決確定聯(lián)合概率密度p(x, t)的推斷問題。之后，計(jì)算條件概率密度p(t|x)。最
后，使用公式（1.89）積分，求出條件均值。
(b) 首先解決確定條件概率密度p(t|x)的推斷問題。之后使用公式（1.89）計(jì)算條件均值。
(c) 直接從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中尋找一個(gè)回歸函數(shù)y(x)。

介紹一種平方損失函數(shù)的推廣叫作閔可夫斯基損失函數(shù)（Minkowski loss）：



當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)就變成了平方損失函數(shù)的期望，的最小值是條件均值，當(dāng)時(shí)，的最小值是條件中位數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值是條件眾數(shù)。

1.6信息論

我們對(duì)于信息的度量依賴于概率分布p(x)，因此我們想要尋找一個(gè)函數(shù)h(x)，它是概率p(x)的單調(diào)遞增函數(shù)，表達(dá)了信息的內(nèi)容。

如果我們有兩個(gè)不相關(guān)的事件x和y，那么我們觀察到的兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的時(shí)獲得的信息應(yīng)該等于觀察到事件各自發(fā)生所獲得的信息之和。因此：


依據(jù)這兩個(gè)關(guān)系：


其中負(fù)號(hào)是為了保證信息一定是正數(shù)或者0，注意：低概率事件x對(duì)應(yīng)于高的信息量，對(duì)數(shù)的選擇是任意的，h(x)的單位是比特。

現(xiàn)在假設(shè)一個(gè)發(fā)送者想傳輸?個(gè)隨機(jī)變量的值給接收者。這個(gè)過程中，他們傳輸?shù)钠骄畔⒘客梢酝ㄟ^求公式（1.92）關(guān)于概率分布p(x)的期望得到。這個(gè)期望值為：

這個(gè)重要的量被叫做隨機(jī)變量x的熵，注意：

我覺得這里對(duì)熵概念的推導(dǎo)真的很妙！總之：



如果分布p(x_i)在幾個(gè)值周圍有尖銳的峰值，熵就會(huì)相對(duì)較低，如果分布p(x_i)相對(duì)平衡地跨過許多值，那么熵就會(huì)相對(duì)較高。

由于0< p_i < 1，因此熵是非負(fù)的。當(dāng)p_i = 1且所有其他的p_{j != i} = 0時(shí)，熵取得最小值0。在概率歸一化的限制下，使用拉格朗日乘數(shù)法可以找到熵的最小值。因此，我們要最大化


證明過程后面過一遍！

1.6.1 相對(duì)熵與互信息

把熵的思想應(yīng)用到模式識(shí)別的問題中去，考慮某個(gè)未知的分布p(x)，假定我們已經(jīng)使用了一個(gè)近似的分布q(x)對(duì)它進(jìn)行了建模。如果我們使用q(x)來建立一個(gè)編碼體系，用來將x的值傳遞給接受者，那么由于我們使用了q(x)而不是真是分布p(x)，因此在具體化x的值時(shí)，我們需要一些附加的信息。

凸函數(shù)的性質(zhì)可以表示為：


凸函數(shù)滿足：


因此互信息表示一個(gè)新的觀測(cè)y造成的x的不確定性的減少。

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    那天，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼。 笑死，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。 我是一名探鬼主播，決...
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  • 雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
    文/蒼蘭香墨 我猛地睜開眼，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼！你這毒婦竟也來了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
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  • 萬榮殺人案實(shí)錄
    序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒想到半個(gè)月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
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  • ?護(hù)林員之死
    正文 獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛 以下內(nèi)容為張勛視角 年9月15日...
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  • ?白月光啟示錄
    正文 我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。 大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
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  • 活死人
    序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情，我是刑警寧澤，帶...
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  • ?日本核電站爆炸內(nèi)幕
    正文 年R本政府宣布，位于F島的核電站，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
    茶點(diǎn)故事閱讀 43,981評(píng)論 3贊 346
  • 男人毒藥：我在死后第九天來索命
    文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。 院中可真熱鬧，春花似錦、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
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  • 一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
    文/蒼蘭香墨 我抬頭看了看天上的太陽(yáng)。三九已至，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背。 一陣腳步聲響...
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  • 情欲美人皮
    我被黑心中介騙來泰國(guó)打工， 沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人。 一個(gè)月前我還...
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  • 代替公主和親
    正文 我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。 傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
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