對于下面一個序列：

2，1，5，3，6，4，8，9，7

求其最長遞增子序列（可以不連續但順序不可變）

解法一：動態規劃法（O(N^2)）

既然是動態規劃法，那么最重要的自然就是尋找子問題，對于這個問題，我們找到他的子問題：

對于長度為N的數組A[N] = {a0, a1, a2, ..., an-1}，假設假設我們想求以aj結尾的最大遞增子序列長度，設為L[j]，那么L[j] = max(L[i]) + 1, where i < j && a[i] < a[j], 也就是i的范圍是0到j - 1。這樣，想求aj結尾的最大遞增子序列的長度，我們就需要遍歷j之前的所有位置i（0到j-1），找出a[i] < a[j]，計算這些i中，能產生最大L[i]的i，之后就可以求出L[j]。之后我對每一個A[N]中的元素都計算以他們各自結尾的最大遞增子序列的長度，這些長度的最大值，就是我們要求的問題——數組A的最大遞增子序列。

時間復雜度：由于每一次都要與之前的所有i做比較，這樣時間復雜度為O(N^2)。

解法二：動態規劃法（O(NlogN)）

上面的解法時間復雜度為O(N^2)。仔細分析一下原因，之所以慢，是因為對于每一個新的位置j都需要遍歷j之前的所以位置，找出之前位置最長遞增子序列長度。那么我們是不是可以有一中方法能不用遍歷之前所有的位置，而可以更快的確定i的位置呢？

這就需要申請一個長度為N的空間，B[N]，用變量len記錄現在的最長遞增子序列的長度。

B數組內任意元素B[i]，記錄的是最長遞增子序列長度為i的序列的末尾元素的值，也就是這個最長遞增子序列的最大元素的大小值。同時，后面會發現B[1...i]也是一個單調遞增序列。

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是說當只有一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，因為2比1大，1在后續的價值要大。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小于3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3后面，因為B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，于是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等于3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最后一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我們知道了LIS的長度為5。

注意，這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入數據。雖然最后一個d[9] = 7更新進去對于這組數據沒有什么意義，但是如果后面再出現兩個數字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然后應該發現一件事情了：在B中插入數據是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查找，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~于是算法的時間復雜度就降低到了O(NlogN)～！

補充：

假如x<y<t且a[x]<a[y],f[x]=f[y]（其中f[x]表示a[1...x]的序列其最長遞增子序列的長度），也就是說選取x,y都可以更新得到相同的f[t]的值，那么選取誰呢。顯然選取x會更優，因為在a[x]…a[y]中如果存在a[z],使得a[x]<a[z]<a[y]，那么就可以通過x得到更長的最長不降子序列的值。

根據f的值進行分類，我們只需要保留滿足f[t]=k的所有a[t]中的最小值，設d[k]記錄這個值，即d[k]:=min{a[t]}(f[t]=k)，也就是k表示最長遞增子序列的長度。

我們注意到d有兩個特點：

1.?????? d[k]的更新值在整個過程中是單調不上升的。

2.?????? d數組是有序的。即d[1]<d[2]<...<d[k]

利用d，我們可以得到一種計算最長上升子序列的方法。設當前已經求出的最長上升序

列的長度為len，每次讀入一個新元素x。

如果x>d[len]將其直接假如d，inc(len)得到更長的序列

否則，在d中查找到第一個比該元素小的元素d[k]，將該元素加入，d[k+1]:=x;如果使用

順序查找效率會很低，所以采用二分查找，將其復雜度降為log級，難點在于二分查找。

本題中的單調隊列的出現時利用決策的性質，用元素在動歸中的價值分類。在入隊操做

時并未讓所有元素出隊，而是直接插入相應位置（實質是替換更新），這是根據題目的特殊性決定的。對于一個單調的序列往往用二分法。