在上一課里 我們了解了自動機模型的一種：生命游戲
我們從中觀察到了神奇的現象
（我們看到）簡單的規則是如何疊加起來并產生出十分復雜、新奇的結果
在這節課中 我們將會學習
更簡單的一類細胞自動機模型實際上也是最初的細胞自動機模型
并試圖找出讓模型產生出
不同結果的必要條件我們的第一個核心問題是
這個系統能夠產生出什么樣的結果它會不會趨于平衡？
它會不會產生一些模式？它會不會變得復雜？它會不會陷入混沌？
我們要做的就是試圖理解這其中
哪些會發生 我們不會得到確定答案
但是通過一個模擬的模型我們能夠對導致復雜結果的條件有所了解
那么首先講一講歷史細胞自動機
是由一個聰明絕頂的 叫約翰·馮·諾依曼的人發明的 馮·諾依曼制造了
早期計算機之一，名為JOHNNIAC，也叫ENIAC
他也是博弈論和經濟增長理論的奠基人之一
他有一個非常非常聰明的數學頭腦
他與一個名為斯坦尼斯·烏拉姆(Stanislaw Ulam)的數學家合作
提出了他所能想到的計算的最簡單形式
后來被稱為細胞自動機模型他的想法
細胞自動機 被后人反復仔細研究其中包括一本最近出版的書
《新型科學》 (New Kind of Science)作者是Mathamatica的開發者 斯蒂芬·沃爾夫勒姆（Stephen Wolfram）
在這本書中 沃爾夫勒姆的探索達到了不可思議的深度
這是一本上千頁的書其中包含了不計其數的示例
這些細胞自動機模型是如何工作的？沃爾夫勒姆稱它為新一類的科學
因為他試圖通過計算歸納的方法來理解這個世界
那么這些模型是什么呢？什么是細胞自動機模型呢？
它們其實和我們在生命游戲中看到的幾乎一樣不同的是
這里它們是一維直線 而不是二維網格
所以 和上次一樣 你可以想象我們有一群細胞
它們要么是關閉狀態要么是開啟狀態 那么我們能做的就是想一想
這些（細胞）是怎樣隨著時間演化的呢？
這與我們之前所做不一樣的是如果我有一個細胞在這里
在正中間 我們會假設它只有兩個鄰居
而在之前的網格世界里 每個細胞有八個鄰居現在它只有兩個
只有兩個鄰居的好處是它不僅使事情簡單多了
而且可以讓我們得以窮盡地研究問題這也是為什么
沃爾夫拉姆的書如此之厚我們可以仔細研究每一個規則
所以我們可以寫下每一個規則 然后思考不同的規則是怎樣運作的
它們會產生什么行為 以及類似的問題另外一大優勢是
顯示這個世界（的結果）比其他世界容易多了
因為我們可以讓時間沿著這個軸移動所以我可以這樣做
這是這個細胞在當前的狀態也許它是被填充的 然后我可以說
在下一個周期它會發生什么也許它會被關閉 接下來我可以再說
它在再下一個周期會發生什么 也許它會被開啟這樣 我就可以用
從頁面向下移動的方法來代表時間的推進這就是我們的模型 現在 我們要想
規則應該是什么樣子的？那么這有一個例子，讓我們來想一想
規則必須是什么樣的呢？如果如果我考慮這個細胞 X
這個就是細胞 X它有兩個鄰居 那么 第一個鄰居
第二個鄰居 或者也可以叫它們“左鄰”和“右舍” 我們可以想一想
它們有多少種可能的狀態？當然 它們可能全部是關閉的
它們也可能全部是開啟的還有可能
只有右邊的這個是開啟的 或者只有這個細胞自己是開啟的 經過仔細思考
我們得出 基本上一共有八種不同可能性 那么
規則應該是什么呢？規則就是在每一種狀態下我需要做什么 所以它可以是說
如果我在一個所有細胞都關閉的狀態下
我會保持關閉狀態 而如果我們在一個所有細胞都開啟的狀態下 那我就會繼續保持開啟
如果這兩個都處于開啟狀態的話那么我也會開啟
接下來我們所思考的是我們從一些初始設置開始
我們有一堆細胞 一些被染了顏色
一些則沒有 接下來它們要做的是每個細胞查看自己的狀態是什么？
譬如我是這個細胞的話
我注意到我的鄰居都處于開啟狀態然后我去查閱表格
查到如果所有鄰居都是開啟狀態的話那么我在下一時刻也會開啟·
每個細胞都如此 譬如說這個細胞
它自己開著但它的兩個鄰居是關閉狀態接著我去查閱表格
找到我們當前所對應的設置 其規則為
下個周期里保持關閉狀態隨著時間的推進
我們有這些規則
沃爾夫勒姆在他的書中指出如果遍歷所有的規則
可以發現有四種行為
我們之前討論過 有不動點（fixed points）
有交替態（alternation） 有隨機態（randomness）也有復雜態（complexity）
我們想要了解這背后的原因為什么會得到這些結果？
得到這些不同結果的規則是什么樣的？
在我們進一步深入之前我們該怎么理解各種各樣的規則
我們怎樣來記錄這些規則沃爾夫勒姆有一種絕妙的方法
來為這些規則編號 讓我們來看看是如何做的假設我處在“全閉”狀態，
那么有兩種可能：一種是閉
一種是開 假設我保持狀態不變仍然有兩種可能
或者閉 或者開 每一個狀態都是如此：
兩種可能，兩種可能，兩種可能……每一個狀態都可以對應兩個結果
也就是說 共有 2 的 8 次方種可能
有 256 種不同的規則 所以現在由這些規則構成的世界其規模為 256
（在這個世界里）我們需要探索 256 件事情
這也是這本書為什么有 1000 頁的原因每個規則用 4 頁的話
1000 頁一下子就用光了沃爾夫勒姆用了一個絕妙的辦法
來為這些規則編號 他的做法是：
讓我們習慣用（二進制的） 1、2、4、8、16、32、64、128 （來編號）
他的做法是 如果結果為“開”
讓我用另一種方式來表示
假定這是我們的規則 其中三個狀態的結果為“開”那么我們把 2、8、128 三個數加起來
得到 138（作為這個規則的編號）
我們把第一個標為 1 第二個標為 2
再下面的標為 4 再下面的標為 8 依此類推
這使得他可以為每個規則賦予一個 0 到 255之間的唯一編號
全閉的規則編號為 0 全開的規則編號為 255
這讓我們有了一個為規則編號的系統
接下來讓我們看看一些能產生有趣現象的規則
這是第 30 號規則2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 等于 30
這條規則是說 如果三個格子都為“閉”那么保持“閉”的狀態
如果右邊的格子為“開” 或者左邊的格子為“開”這兩種情況下 結果為“開”
如果只有你（即中間的格子）是“開”的那么保持“開”狀態 好 這里出現了不對稱情況
如果你和右邊的格子為“開” 則保持“開”狀態但如果你和你左邊的格子為”開“ 則你關閉
讓我們來看看會發生什么
這個 這個 還有這個 這三個格子都處于這種狀態三個都是”閉“狀態
所以它們保持”閉“狀態 這個格子的右邊一格是”開“狀態 所以它會變為”開“
而這個格子 當前是”開“狀態而兩個相鄰的格子則為”閉“
所以它也會保持”開“狀態而這個格子的左邊一格為”開“
就跟這個狀態一樣 所以它會為”開“
其他的格子都將為”閉“ 我們得到了什么呢？這三個格子的狀態為”開“
那下一步的結果又會是什么樣子？讓我們再來一遍
最左邊的幾個格子將保持“閉”狀態但這個格子因為
它右邊相鄰的格子為“開”所以它也為“開”
這個格子因為它和右邊的格子為“開”所以也會為“開” 但這個格子
在正中間的那個格子 因為三個緊鄰的格子都為“開” 所以它的狀態將為“閉”
我們得到這樣的一個結果 （重復下去）我們得到一個向外擴散的模式
這里我們是手動計算的
下面讓我們用一個更先進的工具 NetLogo我們從一個初始設置開始
也就是中間一格為“開”的狀態 讓我們運行下去
我們會看到三格為“開”的狀態現在 隨著繼續運行
我們會看到一個非常有趣的模式注意這個模式產生的過程
我們看到各種不同的（幾何）結構：小三角，大三角，……
關于這個規則 有一個有趣的結果是被證明了的
如果我沿著正中劃一條線
那么在這條線上的格子的“開”“關”狀態
是一個隨機序列
你無法預測下一個狀態是“開”還是“閉”即使你知道前一個狀態
這是第 30 號規則的例子這個例子產生了
完美的隨機性 好 讓我們再看下一個例子
第 110 號規則 還記得（編號的計算）吧
2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 32 ＋ 64 等于 110
我們再來一遍 左邊的這三個格子和
右邊的這三個格子 沒有鄰格為“開”所以它們保持“閉”狀態
而這個格子右邊的鄰格為“開” 所以它將為“開”
這里這個格子 現在為“開” 而鄰格都為“閉”所以它將保持“開”
而這里的這個格子 其左邊鄰格為“開”
與之前的例子不同 它將為“閉”讓我們繼續做下去
這個格子將為“閉” 這個格子將為“閉”但這個格子
因為右邊的鄰格為“開” 它的狀態將為“開”
這個格子為“開” 其右側鄰格也為“開”
對應這個設置 它的狀態也將為“開”
但這個格子 原本為“開” 對應這個設置
它和它右邊的格子為“開” 所以它也將為“開”
最后 這個格子的左邊鄰格為“開”按照這個設置 它將為“閉”
由此 我們得到了
一個不斷增大的三角形
那第 110 號規則的結果到底如何？我們來運行一下（程序）
得到沃爾夫勒姆書中的一幅圖這是個非常有趣的樣式
呈現出某種程度的復雜性看到這些蜿蜒穿過圖面的小塊塊嗎？
第 110 號規則被歸類為復雜規則
這里 如果我們從一個隨機的初始狀態出發運用第 110 號規則 得到了一幅更有趣的圖像
同樣 我們看到這種有趣的小塊塊穿過畫面
有的是一條線 有的交織在一起
還有的聚成更大塊的東西我們看到種種這些有趣的現象
這是一種復雜情況是吧 很難去解釋
我們看到 簡單的一維的自動機模型能產生非常有趣的結果
我們很容易構造出所有格子都僵死住的規則也可以輕易地構造出循環交替的規則
有些規則導致了隨機性
你確實能夠證明這種隨機性 像第 30 號規則而有些規則 像第 110 號規則 創造出了復雜性
那么我們接下來要做的 是問一個很有趣的問題
“為什么？” 為什么有些規則進入穩定狀態
有些規則產生交替變化 有些規則產生隨機性有些規則則產生復雜性
在回答這個問題之前 也即什么創造了復雜性什么創造了混沌
又是什么創造了秩序？讓我們停下來想想這些規則具有多么深遠的意義
這些都是非常簡單的模型 比生命游戲簡單得多
但它們能產生所有可能的結果這使得一些物理學家和數學家們提出：
也許世界在某種意義上就是這樣運轉的
所有的東西都從簡單規則中來我們在現實世界中所接觸的復雜事物
都來自于非常簡單的二值的相互作用
物理學家約翰·惠勒（John Wheeler）寫道：“萬物源于比特”（It from bit）
這里我引用一下惠勒的原話 因為它意義深遠他說道 萬物源于比特 換言之 每一個“它”——
每個粒子 每種力場 乃至時空的連續性本身——
在衍化出其功能 其含義 乃至其存在時
甚至間接地在某些場合下 都要歸結為回答“是”或“否”的問題
歸結到二元選擇 歸結到比特“萬物源于比特”象征著物理世界中的所有物體
在絕大多數情況下 其最本質的東西
都來自于非物質的解釋 也即我們所說的現實是從最刨根問底的“是”或“不是”的問題中
以及最機械的回答中浮現出來的
簡言之 所有物理存在在本源上都是信息論的
這是一個參與的宇宙（participatory universe）
這是惠勒在 1990 年所說的話惠勒”萬物源于比特“的意思是說
你可以通過”是“或”不是“的問題 來解釋任何事物的本質
現實世界的最底層可以僅由開關來構成
它 我們 宇宙 任何事物 可以不夸張地說都源于比特
要知道 這可是在簡單的一維細胞自動機模型基礎上邁進了一大步
而我們知道 細胞自動機模型足以產生出幾乎任何結果
這多么有趣 讓我們回到
它是如何產生出任何結果的問題上究竟是怎么一回事兒？克里斯·朗頓（Chris Langton）
是圣達菲（Santa Fe）研究院的研究員在密西根大學獲得博士學位
他研究了細胞自動機并得出了他命名為朗頓 Lambda 的參數
朗頓 Lambda 可以在某種意義上告訴我們結果會是什么樣子的
讓我解釋一下我所說的意思還記得沃爾夫勒姆的編號是從 1 到 256 嗎？
朗頓用了一個簡單得多的辦法他只要看有多少個結果是“開”
在這個例子里 是 3 用朗頓 Lambda 來標注的話就是 3 或 3/8
也即“開”所占的比例
所以 這條規則是 0 或 0 除以 8
這條規則是 1 除以 8 朗頓 Lambda 表示的
是轉為“開”的狀態所占的比例而這條規則 還記得它是第 30 號規則嗎？
它的朗頓 Lambda 為 4 除以 8讓我們再回過頭來看看這條規則
它的 Lambda 為 0/8 會發生什么呢？
什么都不會發生 所有的格子都會“死掉”沒什么有趣的事情
而這條只有一個狀態為“開”的規則會產生什么呢？它的 lambda 為 1/8
一開始大部分格子都會死掉但一旦所有的格子都為“閉“
所有的格子又都會打開 而所有的格子打開后又會轉為閉
所以這是一個交替的結果那第 30 號規則又如何呢？
它的 Lambda 為 4/8記得其結果是混沌的嗎？
完全隨機的結果 第 110 號規則又如何呢？
它的 lambda 值是 5/8 而結果是復雜的
現在 你可能認為lambda 越大
我們就越可能得到有趣的東西這并不全對
讓我們來看看 lambda 為 8 的情形當 lambda 為 8 時
所有格子都自動為“開”這沒什么有趣的
有意思的是 看起來似乎 lambda 落在這個區域時
即有兩個、或三個、或四個、或五個、或六個狀態為“開”時
讓我們看看對于一維的（每個格子）有兩個鄰格的細胞自動機來說
共有多少條規則 如果我把這些都算上的話
應該有 256 條 如果我想知道第三類
也即混沌或隨機的情況有多少的話一共有 32 種
其中 20 種情況下的 lambda 為 4
而它們全部集中在 2 和 6 之間第四類是復雜規則
只有 6 條屬于復雜規則 這些的 lambda 值全部落在 3 和 5 之間
下面是非常有趣的部分 如果我問
是什么導致了混沌或復雜lambda的區間在這里 這個區間里的相互依賴關系
處于中等水平 像這條規則 其 lambda 值為 7/8
或者說 7 那么不會有什么有趣的事情發生
它基本上會使所有格子都為“開”而當所有格子都為“開”時
它會保持“開”的狀態 所以 這是一種穩定狀態是這些處于中間水平的規則
讓我們看到了復雜性 讓我們來看看日經指數（Nikkei Index）
你可以看到令人難以置信的復雜模式那么你可以預計的是
這些規則一定具備彼此依存關系
這個中等水平意味著我的“開”或“閉”取決于許多其他人的動作
如果規則中有大量的相互依存關系
那么你就可以看到像這些東西一樣的復雜模式那么在市場上又發生了什么呢？
人們的規則在很大程度上取決于其他人做什么
因而存在大量的相互依存關系 因此你會得到這些復雜模式
如果沒有相互依存關系的話那么你要么一直處于開 要么一直處于關
不會有什么有趣的事情發生我們從這個非常非常簡單的模型里學到了什么？
首先 簡單規則——超級簡單的規則——合起來運用的話 可以產生任何結果
其次 我們得到了這個意義重大的想法
“萬物源于比特” 第三 為了產生復雜性和隨機性
需要某種程度的相互依存性
你不會想要一個總是處于開或總是處于“閉”的結果為了產生復雜性
你需要行動中的相互依存這就是細胞機
一維的細胞自動機 它只是個模型但它給了我們以真知灼見
這個真知灼見就是如果我們在真實世界中看到了復雜性
那么它很可能與人的行為有關或者是由于事物所遵循的規則是相互依存的
謝謝