經(jīng)過初高中學(xué)習(xí)平面幾何的洗禮，肯定要知道三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心，也就是俗稱的三角形的五心。

三角形只有五心嗎？其實這五心不過是冰山一角。

三角形的心（Triangle center）指平面上一系列的點，在一定程度上它們類似正方形或者圓的中心，都是三角形的中心。這系列的點有多少個呢？目前是5389個，雖然很多但也不是什么點都可以。

如果要討論三角形的心，就要從2000年前古希臘的一個夜晚說起。那里的數(shù)學(xué)家們抬頭看星星累了時，低頭畫了個三角形，一不小心就發(fā)現(xiàn)了一些經(jīng)典的三角形的心，例如開頭提到的五心。當(dāng)然他們并沒有定義三角形的心到底是什么，也沒有規(guī)定什么樣的點可以被稱作三角形的心。在他們之后，一些三角形的心又陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)，例如費馬點、第一等角點、格高尼點、 威畢特點、Gergonne point、Feuerbach point等等。到了20世紀(jì)80年代，人們對三角幾何的興趣復(fù)燃，注意到這些點有一些相同的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，對三角形的心做了明確的定義。2012年10月，一位叫做Clark Kimberling的數(shù)學(xué)家發(fā)布了一個由他編制的在線的三角形的心在線百科全書，上面收錄了5389個點。給這些點一一起名字也挺費事，所以他們被編號為X（1）、X（2）……

三角形的五心定義和性質(zhì)：

1.重心

三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。

重心的性質(zhì)：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。

2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量。

2.外心

三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心

外心的性質(zhì)：

1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。

3、當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。

4、計算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計算下列臨時變量：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三頂點的距離相等

3.垂心

三角形的三條高（所在直線）交于一點，該點叫做三角形的垂心。

垂心的性質(zhì)：

1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））

3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

4.內(nèi)心

三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。

內(nèi)心的性質(zhì)：

1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點。該點即為三角形的內(nèi)心。

2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。

3、P為ΔABC所在空間中任意一點，點0是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

5、 歐拉定理 ?⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．

6、 內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系 ?△ABC中，0為內(nèi)心，∠A 、∠B、 ∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，　則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

7、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。

5.旁心

三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。

旁心的性質(zhì)：

1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。

2、每個三角形都有三個旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。

如圖，點M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。

?那么三角形的這5389顆心該如何定義呢？什么樣的點才是三角形的心？

? ? ? ? 觀察五心可以發(fā)現(xiàn)，他們有一個共同特點，就是在三角形做幾何變換時（相似變換、旋轉(zhuǎn)、反射）的不動點（相對于三個頂點而言）。實際上這也就正是三角形的心要滿足的條件。當(dāng)然它的正式定義是用函數(shù)來定義的：

設(shè)一個有三個變量a、b、c的實值函數(shù)f 滿足一下條件：

1. 對于某些常數(shù)n有： f(ta,tb,tc) = t^n f(a,b,c) （t>0）

2. 雙向?qū)ΨQ性： f(a,b,c) = f(a,c,b)

滿足上述條件的非零函數(shù)f就被稱為三角形中心函數(shù)，如果f中的a、b、c滿足構(gòu)成一個三角形的條件，那么具有如下 三重線性坐標(biāo)（trilinear coordinates，即點到三角形三邊的距離） 的點就被稱為三角形的心：

f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)