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本文主要介紹RSA的數學原理、以及RSA的代碼演示

引子

密碼學

是指研究信息加密、破解密碼的技術科學。最早可以追溯到追溯到2000年前。而當今的密碼學是以數學為基礎的。

密碼學發展史

• 在1976年以前，所有的加密方法都是同一種模式：加密、解密使用同一種算法。在交互數據的時候，彼此通信的雙方就必須將規則告訴對方，否則沒法解密。那么加密和解密的規則（簡稱密鑰），它保護就顯得尤其重要。傳遞密鑰就成為了最大的隱患。這種加密方式被成為對稱加密算法（symmetric encryption algorithm）

• 1976年，兩位美國計算機學家 迪菲（W.Diffie）、赫爾曼（ M.Hellman ） 提出了一種嶄新構思，可以在不直接傳遞密鑰的情況下，完成密鑰交換。這被稱為“迪菲赫爾曼密鑰交換”算法。開創了密碼學研究的新方向

RSA數學原理

上世紀70年代產生的一種加密算法。其加密方式比較特殊，需要兩個密鑰：公開密鑰簡稱公鑰（publickey）和私有密鑰簡稱私鑰（privatekey）。公鑰加密，私鑰解密；私鑰加密，公鑰解密。這個加密算法被稱為的RSA

離散對數問題

現在想實現這一種 加密容易，但是破解很難的加密算法，利用數學運算，如mod取模，有如下方案：

• 用質數做模數，例如17

• 找一個比17小的數作為n次方的基數，例如3

• 找出基數的n次方 mod 質數 = 固定的數，求n

3^? mod 17 = 12，此時的`？`是多少呢？（mod -> 求余數,在西方被稱為時鐘算數）

從下方的規律中可以看出，3的1次方~16次方 mod 17 得到的結果都是不同的，且結果分布在 [1,17)上。此時將 3 稱為 17 的原根

原根

質數：公約數只有1和自己，其中2是一個特殊質數

歐拉函數φ（讀 fai）

定義

任意給定正整數n，請問在小于等于n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？計算這個值的方式就叫做歐拉函數，使用Φ(n)表示

互質關系

如果兩個正數，除了1以外，沒有其他公因數，就稱這兩個數是互質關系（comprime）

歐拉函數特點

• 1、當n是質數時，Φ(n) = n - 1

• 2、如果n可以分解成兩個互質的整數之積，例如 n = A * B，則Φ(A * B) = Φ(A) * Φ(B)

所以，根據歐拉函數的以上兩個特點，可以得到如下結論：

• 如果N是兩個互質數P1和P2的乘積，則Φ(N) = Φ(P1 * P2) = Φ(P1) * Φ(P2) = (P1-1) * (P2-1)

練習

• 計算8的歐拉函數：和8互質的有4個，即Φ(8) = 4（ 1，2，3，4，5，6，7，8 - 1-8中有4個數和8互質）

• 計算7的歐拉函數：和7互質的有6個，即Φ(7) = 6（1，2，3，4，5，6，7 - 1-7中有6個數和7互質）

• 計算56的歐拉函數：Φ(56) = Φ(7 * 8) = Φ(7) * Φ(8) = 6 * 4 = 24

歐拉定理

歐拉定理

如果兩個正整數 m 和 n 互質，那么 m 的Φ(n)次方減去1，可以被n整除。即 (m^Φ(n) - 1) / n ≡ 0 ==> m^Φ(n) mod n ≡ 1

費馬小定理（歐拉定理的特殊情況）

如果兩個正整數 m 和 n 互質，而且 n 為質數，那么 Φ(n) 結果就是 n-1，即 m^(n-1) mod n = 1

• 例如 m=6，n=5，那么 6^(5-1) mod 5 = 1

公式轉換

前提：m和n互為質數，且n為質數，有公式m^Φ(n) mod n ≡ 1

• 由于1^k ≡ 1 ==> m^k*Φ(n) mod n ≡ 1

  • 推導：將x = m^Φ(n) mod n 看作一個整體 ==> x^k = m^(Φ(n)*k) mod n（是一個定理） 成立

  • 例如：m=6，n=7，則6^(7-1) mod 7 = 1 ==> 6^(6*2) mod 7 = 1

• 由于1*m ≡ m ==> m^（k*Φ(n)+1） mod n ≡ m（成立條件：m 要比 n小）
  • 例如：m=6,n=7,則6^(6*3+1) mod 7 = m

模反元素

如果兩個正整數 e 和 x 互質，那么一定就可以找到整數d，使得 ed - 1 被x整除（即 (ed - 1)/x = 1），那么 d 就是 e 對于 x 的模反元素

• e * d mod x = 1
  • 理解： e * d - 1 = x * k ==> e * d ≡ k*x + 1
• e * d ≡ k*x + 1 ===> m^(e*d) mod n = m（條件：d 是相對于 Φ(n) 的模反元素）

  • kx + 1 = kΦ(n)+1 ==> m^(e*d) mod n = m

  • 例如：

- m ：4
- n ：15
- Φ(n)：8
- e：（和Φ(n)互質）3
- d：3d-1=8k ==> d=(8k+1)/3 ==> d=11 19
- 4**(3*11)%5 = 4
- 4**(3*19)%5 = 4

迪菲赫爾曼密鑰交換

如下圖所示，是一個典型的迪菲赫爾曼密鑰交換過程

迪菲赫爾曼密鑰交換過程

• 1、服務端先取一個隨機數15，通過 3^15 mod 17 = 6，將6傳給客戶端（第三方可以竊取這個6）

• 2、客戶端通用的取一個隨機數13，通過3^13 mod 17 = 12，將12傳給服務器（第三方同樣可以竊取這個12）

• 3、客戶端拿到服務器傳過來的6，通過6^13 mod 17 = 10，得到10

• 4、服務端拿到客戶端傳過來的12，通過12^15 mod 17 = 10，得到10

• 所以綜上所述，服務端和客戶端想交換的數字是 10

以下是迪菲赫爾曼密鑰交換的原理，最終經過兩次計算，客戶端和服務端都會得到一個相同的數字，用于數據的傳輸

迪菲赫爾曼密鑰交換原理

• 客戶端：3 ^ 15 mod 17 = 6 + 6^13 mod 17 = 10 ==> 3 ^ （15 * 13） mod 17 = 10

• 服務端：3 ^ 13 mod 17 = 12 + 12^15 mod 17 = 10 ==> 3 ^ （13 * 15） mod 17 = 10

RSA的誕生

由上面的迪菲赫爾曼密鑰交換原理可知，由以下三個公式

- 1、m^e mod n = C
- 2、C^d mod n = m^(e*d) mod n
- 3、m^(e*d) mod n = m

其中c^d mod n = m ，主要是源于 c^d mod n = m^(e*d)mod n = m ，且d 是 e 相對于 φ(n)的模反元素。需要注意的是：m 和 n 既為互質，也為原根，即m 是n的原根

RSA算法

所以最終RSA算法的加解密公式為：

• 加密：m^e mod n = c

• 解密：c^d mod n = m

• 公鑰：n和e

• 私鑰：n和d

• 明文：m

• 密文：c

其中涉及的公鑰、私鑰、密文、明文有如下說明

• 1、n會非常大，長度一般為1024個二進制位（目前人類已經分解的最大整數，232個十進制位，768個二進制位）

• 2、由于需要求出φ(n)，所以根據歐拉函數特點，最簡單的求解φ(n)方式：n由兩個質數相乘得到 質數：p1、p2

  • Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1)

• 3、最終由 Φ(n) 得到 e 和 d

• 所以綜上所述，總共生成6個數字：p1、p2、n、Φ(n)、e、d

算法演示

m：取值 3 或 12
n：3*5（兩個質數相乘）

- φ(n) = （3-1）*（5-1）= 8
- e：3（e和Φ(n)互質）
- d：3d-1=8k ==> d = 11 / 19（由公式 e * d mod x = 1 求解）
- 加密：`m^e mod n = c` ==> 3^3 mod 8 = 3
- 解密：`c^d mod n = m` ==> 3^11 mod 8 = 3

關于RSA的安全說明
除了公鑰用到了n和e，其余的4個數字是不公開的，目前破解RSA得到d的方式如下：

• 1、要想求出私鑰 d，由于 e*d = φ(n)*k + 1。要知道e和φ(n)

• 2、e是知道的，但是要得到 φ(n)，必須知道p1 和 p2。

• 3、由于 n=p1*p2。只有將n因數分解才能算出。

RSA算法說明

• RSA效率不高，因為是數學運算，且m不能大于n，大數據不適合用RSA加密，一般用對稱加密（用key）

  • 交換key時，用RSA加密

  • 大數據傳遞，其中大數據用key（即對稱算法）加密

RSA終端命令

由于Mac系統內置OpenSSL（開源加密庫），所以在mac的終端可以直接使用OpenSSl玩RSA，OpenSSL中RSA算法常用命令有3個

終端演示

• 1、生成RSA私鑰，密鑰成都為1024bit

  • 命令：openssl genrsa -out private.pem 1024
    
    RSA終端演示-01
  • 查看 cat private.pem文件，其中是base64編碼
    
    RSA終端演示-02

• 2、從私鑰中提取公鑰（即 n和e）

  • 命令：openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem
    
    RSA終端演示-03
  • 查看公鑰：cat public.pem
    
    RSA終端演示-04

• 3、生成的文件如下

  
  
  RSA終端演示-05

• 4、將私鑰轉換為明文

  • 命令：openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt
    
    RSA終端演示-06

• 5、通過公鑰加密數據，私鑰解密數據

  
  
  RSA終端演示-07

  • 生成明文文件： vi message.txt

  • 查看文件內容：cat message.txt

  • 通過公鑰進行加密：openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt

  • 通過私鑰進行解密：openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt
    生成的文件如下所示
    

    RSA終端演示-08

• 6、通過私鑰加密數據，公鑰解密數據

  • 通過私鑰進行加密（簽名）： openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc.txt

  • 通過公鑰進行解密（驗證）：openssl rsautl -verify -in enc.txt -inkey public.pem -pubin -out dec.txt

總結

• 對稱加密（傳統加密算法）：公鑰、私鑰采用同一個key

• RSA非對稱加密（現代加密算法）：加解密原理來源迪菲赫爾曼密鑰交換

  • 歐拉函數：如果N是兩個互質數P1和P2的乘積，則Φ(N) = Φ(P1 * P2) = Φ(P1) * Φ(P2) = (P1-1) * (P2-1)

  • 歐拉定理：如果兩個正整數 m 和 n 互質，那么 m 的Φ(n)次方減去1，可以被n整除。即 (m^Φ(n) - 1) / n ≡ 0 ==> m^Φ(n) mod n ≡ 1

  • 費馬小定理：如果兩個正整數 m 和 n 互質，而且 n 為質數，那么 Φ(n) 結果就是 n-1，即 m^(n-1) mod n = 1

  • 迪菲赫爾曼密鑰交換原理

    • m^e mod n = C

    • C^d mod n = m^(e*d) mod n

    • m^(e*d) mod n = m

• RSA算法

  • RSA原理：拆解兩個（大）質數的乘積很難，所以RSA相對安全

  • 加密：M ^ e % N = C

  • 解密：C ^ d % N = M

  • 密文（加密后的）：C

  • 明文（解密后的）：M

  • 公鑰：N 和 E

  • 私鑰：N 和 D

  • RSA成立條件（總共有6個數字）：

    • N 是由兩個很大的質數（P1、P2）相乘得到！為了方便求出φ(N)（其中φ(n) = (p1-1)*(p2-1)）
    • D 是 E (一般是65537，0x10001（從終端演示中得出）) 相對于φ(N)的模反元素