棧：如何實現瀏覽器的前進和后退功能？
瀏覽器的前進、后退功能，我想你肯定很熟悉吧？
當你依次訪問完一串頁面 a-b-c 之后，點擊瀏覽器的后退按鈕，就可以查看之前瀏覽過的頁面 b 和 a。當你后退到頁面 a，點擊前進按鈕，就可以重新查看頁面 b 和 c。但是，如果你后退到頁面 b 后，點擊了新的頁面 d，那就無法再通過前進、后退功能查看頁面 c 了。
假設你是 Chrome 瀏覽器的開發工程師，你會如何實現這個功能呢？
這就要用到我們今天要講的“棧”這種數據結構。帶著這個問題，我們來學習今天的內容。
如何理解“棧”？
關于“棧”，我有一個非常貼切的例子，就是一摞疊在一起的盤子。我們平時放盤子的時候，都是從下往上一個一個放；取的時候，我們也是從上往下一個一個地依次取，不能從中間任意抽出。后進者先出，先進者后出，這就是典型的“棧”結構。
從棧的操作特性上來看，棧是一種“操作受限”的線性表，只允許在一端插入和刪除數據。
我第一次接觸這種數據結構的時候，就對它存在的意義產生了很大的疑惑。因為我覺得，相比數組和鏈表，棧帶給我的只有限制，并沒有任何優勢。那我直接使用數組或者鏈表不就好了嗎？為什么還要用這個“操作受限”的“棧”呢？
事實上，從功能上來說，數組或鏈表確實可以替代棧，但你要知道，特定的數據結構是對特定場景的抽象，而且，數組或鏈表暴露了太多的操作接口，操作上的確靈活自由，但使用時就比較不可控，自然也就更容易出錯。
當某個數據集合只涉及在一端插入和刪除數據，并且滿足后進先出、先進后出的特性，我們就應該首選“棧”這種數據結構。
如何實現一個“棧”？
從剛才棧的定義里，我們可以看出，棧主要包含兩個操作，入棧和出棧，也就是在棧頂插入一個數據和從棧頂刪除一個數據。理解了棧的定義之后，我們來看一看如何用代碼實現一個棧。
實際上，棧既可以用數組來實現，也可以用鏈表來實現。用數組實現的棧，我們叫作順序棧，用鏈表實現的棧，我們叫作鏈式棧。
我這里實現一個基于數組的順序棧。基于鏈表實現的鏈式棧的代碼，你可以自己試著寫一下。我會將我寫好的代碼放到 Github 上，你可以去看一下自己寫的是否正確。
我這段代碼是用 Java 來實現的，但是不涉及任何高級語法，并且我還用中文做了詳細的注釋，所以你應該是可以看懂的。
// 基于數組實現的順序棧
public class ArrayStack {
private String[] items; // 數組
private int count; // 棧中元素個數
private int n; // 棧的大小
// 初始化數組，申請一個大小為 n 的數組空間
public ArrayStack(int n) {
this.items = new String[n];
this.n = n;
this.count = 0;
}
// 入棧操作
public boolean push(String item) {
// 數組空間不夠了，直接返回 false，入棧失敗。
if (count == n) return false;
// 將 item 放到下標為 count 的位置，并且 count 加一
items[count] = item;
++count;
return true;
}
// 出棧操作
public String pop() {
// 棧為空，則直接返回 null
if (count == 0) return null;
// 返回下標為 count-1 的數組元素，并且棧中元素個數 count 減一
String tmp = items[count-1];
--count;
return tmp;
}
}
了解了定義和基本操作，那它的操作的時間、空間復雜度是多少呢？
不管是順序棧還是鏈式棧，我們存儲數據只需要一個大小為 n 的數組就夠了。在入棧和出棧過程中，只需要一兩個臨時變量存儲空間，所以空間復雜度是 O(1)。
注意，這里存儲數據需要一個大小為 n 的數組，并不是說空間復雜度就是 O(n)。因為，這 n 個空間是必須的，無法省掉。所以我們說空間復雜度的時候，是指除了原本的數據存儲空間外，算法運行還需要額外的存儲空間。
空間復雜度分析是不是很簡單？時間復雜度也不難。不管是順序棧還是鏈式棧，入棧、出棧只涉及棧頂個別數據的操作，所以時間復雜度都是 O(1)。
支持動態擴容的順序棧
剛才那個基于數組實現的棧，是一個固定大小的棧，也就是說，在初始化棧時需要事先指定棧的大小。當棧滿之后，就無法再往棧里添加數據了。盡管鏈式棧的大小不受限，但要存儲 next 指針，內存消耗相對較多。那我們如何基于數組實現一個可以支持動態擴容的棧呢？
你還記得，我們在數組那一節，是如何來實現一個支持動態擴容的數組的嗎？當數組空間不夠時，我們就重新申請一塊更大的內存，將原來數組中數據統統拷貝過去。這樣就實現了一個支持動態擴容的數組。
所以，如果要實現一個支持動態擴容的棧，我們只需要底層依賴一個支持動態擴容的數組就可以了。當棧滿了之后，我們就申請一個更大的數組，將原來的數據搬移到新數組中。我畫了一張圖，你可以對照著理解一下。
實際上，支持動態擴容的順序棧，我們平時開發中并不常用到。我講這一塊的目的，主要還是希望帶你練習一下前面講的復雜度分析方法。所以這一小節的重點是復雜度分析。
你不用死記硬背入棧、出棧的時間復雜度，你需要掌握的是分析方法。能夠自己分析才算是真正掌握了。現在我就帶你分析一下支持動態擴容的順序棧的入棧、出棧操作的時間復雜度。
對于出棧操作來說，我們不會涉及內存的重新申請和數據的搬移，所以出棧的時間復雜度仍然是 O(1)。但是，對于入棧操作來說，情況就不一樣了。當棧中有空閑空間時，入棧操作的時間復雜度為 O(1)。但當空間不夠時，就需要重新申請內存和數據搬移，所以時間復雜度就變成了 O(n)。
也就是說，對于入棧操作來說，最好情況時間復雜度是 O(1)，最壞情況時間復雜度是 O(n)。那平均情況下的時間復雜度又是多少呢？還記得我們在復雜度分析那一節中講的攤還分析法嗎？這個入棧操作的平均情況下的時間復雜度可以用攤還分析法來分析。我們也正好借此來實戰一下攤還分析法。
為了分析的方便，我們需要事先做一些假設和定義：
棧空間不夠時，我們重新申請一個是原來大小兩倍的數組；
為了簡化分析，假設只有入棧操作沒有出棧操作；
定義不涉及內存搬移的入棧操作為 simple-push 操作，時間復雜度為 O(1)。
如果當前棧大小為 K，并且已滿，當再有新的數據要入棧時，就需要重新申請 2 倍大小的內存，并且做 K 個數據的搬移操作，然后再入棧。但是，接下來的 K-1 次入棧操作，我們都不需要再重新申請內存和搬移數據，所以這 K-1 次入棧操作都只需要一個 simple-push 操作就可以完成。為了讓你更加直觀地理解這個過程，我畫了一張圖。
你應該可以看出來，這 K 次入棧操作，總共涉及了 K 個數據的搬移，以及 K 次 simple-push 操作。將 K 個數據搬移均攤到 K 次入棧操作，那每個入棧操作只需要一個數據搬移和一個 simple-push 操作。以此類推，入棧操作的均攤時間復雜度就為 O(1)。
通過這個例子的實戰分析，也印證了前面講到的，均攤時間復雜度一般都等于最好情況時間復雜度。因為在大部分情況下，入棧操作的時間復雜度 O 都是 O(1)，只有在個別時刻才會退化為 O(n)，所以把耗時多的入棧操作的時間均攤到其他入棧操作上，平均情況下的耗時就接近 O(1)。
棧在函數調用中的應用
前面我講的都比較偏理論，我們現在來看下，棧在軟件工程中的實際應用。棧作為一個比較基礎的數據結構，應用場景還是蠻多的。其中，比較經典的一個應用場景就是函數調用棧。
我們知道，操作系統給每個線程分配了一塊獨立的內存空間，這塊內存被組織成“棧”這種結構, 用來存儲函數調用時的臨時變量。每進入一個函數，就會將臨時變量作為一個棧幀入棧，當被調用函數執行完成，返回之后，將這個函數對應的棧幀出棧。為了讓你更好地理解，我們一塊來看下這段代碼的執行過程。
int main() {
int a = 1;
int ret = 0;
int res = 0;
ret = add(3, 5);
res = a + ret;
printf("%d", res);
reuturn 0;
}
int add(int x, int y) {
int sum = 0;
sum = x + y;
return sum;
}
從代碼中我們可以看出，main() 函數調用了 add() 函數，獲取計算結果，并且與臨時變量 a 相加，最后打印 res 的值。為了讓你清晰地看到這個過程對應的函數棧里出棧、入棧的操作，我畫了一張圖。圖中顯示的是，在執行到 add() 函數時，函數調用棧的情況。
棧在表達式求值中的應用
我們再來看棧的另一個常見的應用場景，編譯器如何利用棧來實現表達式求值。
為了方便解釋，我將算術表達式簡化為只包含加減乘除四則運算，比如：34+13*9+44-12/3。對于這個四則運算，我們人腦可以很快求解出答案，但是對于計算機來說，理解這個表達式本身就是個挺難的事兒。如果換作你，讓你來實現這樣一個表達式求值的功能，你會怎么做呢？
實際上，編譯器就是通過兩個棧來實現的。其中一個保存操作數的棧，另一個是保存運算符的棧。我們從左向右遍歷表達式，當遇到數字，我們就直接壓入操作數棧；當遇到運算符，就與運算符棧的棧頂元素進行比較。
如果比運算符棧頂元素的優先級高，就將當前運算符壓入棧；如果比運算符棧頂元素的優先級低或者相同，從運算符棧中取棧頂運算符，從操作數棧的棧頂取 2 個操作數，然后進行計算，再把計算完的結果壓入操作數棧，繼續比較。
我將 3+5*8-6 這個表達式的計算過程畫成了一張圖，你可以結合圖來理解我剛講的計算過程。
這樣用兩個棧來解決的思路是不是非常巧妙？你有沒有想到呢？
棧在括號匹配中的應用
除了用棧來實現表達式求值，我們還可以借助棧來檢查表達式中的括號是否匹配。
我們同樣簡化一下背景。我們假設表達式中只包含三種括號，圓括號 ()、方括號 [] 和花括號{}，并且它們可以任意嵌套。比如，{[{}]}或 [{()}([])] 等都為合法格式，而{[}()] 或 [({)] 為不合法的格式。那我現在給你一個包含三種括號的表達式字符串，如何檢查它是否合法呢？
這里也可以用棧來解決。我們用棧來保存未匹配的左括號，從左到右依次掃描字符串。當掃描到左括號時，則將其壓入棧中；當掃描到右括號時，從棧頂取出一個左括號。如果能夠匹配，比如“(”跟“)”匹配，“[”跟“]”匹配，“{”跟“}”匹配，則繼續掃描剩下的字符串。如果掃描的過程中，遇到不能配對的右括號，或者棧中沒有數據，則說明為非法格式。
當所有的括號都掃描完成之后，如果棧為空，則說明字符串為合法格式；否則，說明有未匹配的左括號，為非法格式。
解答開篇
好了，我想現在你已經完全理解了棧的概念。我們再回來看看開篇的思考題，如何實現瀏覽器的前進、后退功能？其實，用兩個棧就可以非常完美地解決這個問題。
我們使用兩個棧，X 和 Y，我們把首次瀏覽的頁面依次壓入棧 X，當點擊后退按鈕時，再依次從棧 X 中出棧，并將出棧的數據依次放入棧 Y。當我們點擊前進按鈕時，我們依次從棧 Y 中取出數據，放入棧 X 中。當棧 X 中沒有數據時，那就說明沒有頁面可以繼續后退瀏覽了。當棧 Y 中沒有數據，那就說明沒有頁面可以點擊前進按鈕瀏覽了。
比如你順序查看了 a，b，c 三個頁面，我們就依次把 a，b，c 壓入棧，這個時候，兩個棧的數據就是這個樣子：
當你通過瀏覽器的后退按鈕，從頁面 c 后退到頁面 a 之后，我們就依次把 c 和 b 從棧 X 中彈出，并且依次放入到棧 Y。這個時候，兩個棧的數據就是這個樣子：
這個時候你又想看頁面 b，于是你又點擊前進按鈕回到 b 頁面，我們就把 b 再從棧 Y 中出棧，放入棧 X 中。此時兩個棧的數據是這個樣子：
這個時候，你通過頁面 b 又跳轉到新的頁面 d 了，頁面 c 就無法再通過前進、后退按鈕重復查看了，所以需要清空棧 Y。此時兩個棧的數據這個樣子：
內容小結
我們來回顧一下今天講的內容。棧是一種操作受限的數據結構，只支持入棧和出棧操作。后進先出是它最大的特點。棧既可以通過數組實現，也可以通過鏈表來實現。不管基于數組還是鏈表，入棧、出棧的時間復雜度都為 O(1)。除此之外，我們還講了一種支持動態擴容的順序棧，你需要重點掌握它的均攤時間復雜度分析方法。
課后思考
我們在講棧的應用時，講到用函數調用棧來保存臨時變量，為什么函數調用要用“棧”來保存臨時變量呢？用其他數據結構不行嗎？
我們都知道，JVM 內存管理中有個“堆棧”的概念。棧內存用來存儲局部變量和方法調用，堆內存用來存儲 Java 中的對象。那 JVM 里面的“棧”跟我們這里說的“棧”是不是一回事呢？如果不是，那它為什么又叫作“棧”呢？
經典評論
內存中的堆棧和數據結構堆棧不是一個概念，可以說內存中的堆棧是真實存在的物理區，數據結構中的堆棧是抽象的數據存儲結構。
內存空間在邏輯上分為三部分：代碼區、靜態數據區和動態數據區，動態數據區又分為棧區和堆區。
代碼區：存儲方法體的二進制代碼。高級調度（作業調度）、中級調度（內存調度）、低級調度（進程調度）控制代碼區執行代碼的切換。
靜態數據區：存儲全局變量、靜態變量、常量，常量包括final修飾的常量和String常量。系統自動分配和回收。
棧區：存儲運行方法的形參、局部變量、返回值。由系統自動分配和回收。
堆區：new一個對象的引用或地址存儲在棧區，指向該對象存儲在堆區中的真實數據。一、什么是棧？
1.后進者先出，先進者后出，這就是典型的“棧”結構。
2.從棧的操作特性來看，是一種“操作受限”的線性表，只允許在端插入和刪除數據。
二、為什么需要棧？
1.棧是一種操作受限的數據結構，其操作特性用數組和鏈表均可實現。
2.但，任何數據結構都是對特定應用場景的抽象，數組和鏈表雖然使用起來更加靈活，但卻暴露了幾乎所有的操作，難免會引發錯誤操作的風險。
3.所以，當某個數據集合只涉及在某端插入和刪除數據，且滿足后進者先出，先進者后出的操作特性時，我們應該首選棧這種數據結構。
三、如何實現棧？
1.棧的API
public class Stack<Item> {
//壓棧
public void push(Item item){}
//彈棧
public Item pop(){}
//是否為空
public boolean isEmpty(){}
//棧中數據的數量
public int size(){}
//返回棧中最近添加的元素而不刪除它
public Item peek(){}
}
2.數組實現（自動擴容）
時間復雜度分析：根據均攤復雜度的定義，可以得數組實現（自動擴容）符合大多數情況是O(1)級別復雜度，個別情況是O(n)級別復雜度，比如自動擴容時，會進行完整數據的拷貝。
空間復雜度分析：在入棧和出棧的過程中，只需要一兩個臨時變量存儲空間，所以O(1)級別。我們說空間復雜度的時候，是指除了原本的數據存儲空間外，算法運行還需要額外的存儲空間。
實現代碼：（見另一條留言）
3.鏈表實現
時間復雜度分析：壓棧和彈棧的時間復雜度均為O(1)級別，因為只需更改單個節點的索引即可。
空間復雜度分析：在入棧和出棧的過程中，只需要一兩個臨時變量存儲空間，所以O(1)級別。我們說空間復雜度的時候，是指除了原本的數據存儲空間外，算法運行還需要額外的存儲空間。
實現代碼：（見另一條留言）
四、棧的應用
1.棧在函數調用中的應用
操作系統給每個線程分配了一塊獨立的內存空間，這塊內存被組織成“棧”這種結構，用來存儲函數調用時的臨時變量。每進入一個函數，就會將其中的臨時變量作為棧幀入棧，當被調用函數執行完成，返回之后，將這個函數對應的棧幀出棧。
2.棧在表達式求值中的應用（比如：34+13*9+44-12/3）
利用兩個棧，其中一個用來保存操作數，另一個用來保存運算符。我們從左向右遍歷表達式，當遇到數字，我們就直接壓入操作數棧；當遇到運算符，就與運算符棧的棧頂元素進行比較，若比運算符棧頂元素優先級高，就將當前運算符壓入棧，若比運算符棧頂元素的優先級低或者相同，從運算符棧中取出棧頂運算符，從操作數棧頂取出2個操作數，然后進行計算，把計算完的結果壓入操作數棧，繼續比較。
3.棧在括號匹配中的應用（比如：{}{()}）
用棧保存為匹配的左括號，從左到右一次掃描字符串，當掃描到左括號時，則將其壓入棧中；當掃描到右括號時，從棧頂取出一個左括號，如果能匹配上，則繼續掃描剩下的字符串。如果掃描過程中，遇到不能配對的右括號，或者棧中沒有數據，則說明為非法格式。
當所有的括號都掃描完成之后，如果棧為空，則說明字符串為合法格式；否則，說明未匹配的左括號為非法格式。
4.如何實現瀏覽器的前進后退功能？
我們使用兩個棧X和Y，我們把首次瀏覽的頁面依次壓如棧X，當點擊后退按鈕時，再依次從棧X中出棧，并將出棧的數據一次放入Y棧。當點擊前進按鈕時，我們依次從棧Y中取出數據，放入棧X中。當棧X中沒有數據時，說明沒有頁面可以繼續后退瀏覽了。當Y棧沒有數據，那就說明沒有頁面可以點擊前進瀏覽了。
五、思考
1.我們在講棧的應用時，講到用函數調用棧來保存臨時變量，為什么函數調用要用“棧”來保存臨時變量呢？用其他數據結構不行嗎？
答：因為函數調用的執行順序符合后進者先出，先進者后出的特點。比如函數中的局部變量的生命周期的長短是先定義的生命周期長，后定義的生命周期短；還有函數中調用函數也是這樣，先開始執行的函數只有等到內部調用的其他函數執行完畢，該函數才能執行結束。
正是由于函數調用的這些特點，根據數據結構是特定應用場景的抽象的原則，我們優先考慮棧結構。
2.我們都知道，JVM 內存管理中有個“堆棧”的概念。棧內存用來存儲局部變量和方法調用，堆內存用來存儲 Java 中的對象。那 JVM 里面的“棧”跟我們這里說的“棧”是不是一回事呢？如果不是，那它為什么又叫作“棧”呢？
答：JVM里面的棧和我們這里說的是一回事，被稱為方法棧。和前面函數調用的作用是一致的，用來存儲方法中的局部變量。
