《從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率》試讀：5. 賭徒謬誤：賭博與大數定律
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先講一個賭場撈金的故事。
很多人都聽說過概率或統(tǒng)計中的蒙特卡羅（Monte-Carlo）方法，說白了就是利用大量數據在統(tǒng)計的基礎上進行計算的方法。蒙特卡羅不是人名，是法國邊上一個袖珍小國摩納哥中著名賭場的名字。自從蒙特卡羅賭場于1865年開張后，摩納哥從一個窮鄉(xiāng)僻壤的彈丸之地，一躍而為歐洲最富有的國度之一，至今已經150年過去，這個國家仍然是以賭場和相關的旅游業(yè)為主。
那年代有一個名叫約瑟夫?賈格爾（Jaggers）的英國人，是約克郡一個棉花工廠的工程師，在擺弄加工棉花的機器之余，經常光顧蒙特卡羅賭場，特別感興趣那種38個數字的輪盤游戲（圖1-1-5）。賈格爾畢竟是位優(yōu)秀的機械工程師，腦袋中的彎彎繞繞比一般賭徒要多一點。他想：這輪盤機器在理想的情況下，每個數字出現的概率都是1/38。但是，機器怎么可能做到完美對稱呢？任何缺陷都可以改變獲獎號碼的隨機性，導致轉盤停止的位置偏向某些數字，使這些數字更為頻繁地出現。因此，賭徒應該可以利用這種偏向性來賺錢！于是，在1873年，賈格爾下決心要改變自己的命運，他帶上他所有的積蓄，前往蒙特卡羅賭場，雇用了六個助手，每個助手把守一個輪盤機器。白天，賭場開放了，助手們用賈格爾供給他們的“賭幣”，讓輪盤不停地嘩啦嘩啦轉！不過，他們并不在乎輸贏，他們的任務是記下所把守的輪盤機停止時的每一個數字。然后，到了晚上賭場關門后，賈格爾便在旅館里獨自分析這些數字的規(guī)律。六天后，五個輪盤的數據沒有發(fā)現有意義的偏離，但第六個輪盤為賈格爾帶來了驚喜：38個數字中有9個數出現的概率顯然要比其余的頻繁得多！賈格爾興奮不已，第七天他前往賭場，認定了那臺有偏向性的輪盤機，大量投注這九個頻率高的數字：7，8，9，17，18，19，22，28和29。這種方法使賈格爾當天就賺了7萬。不過，賈格爾沒高興幾天，事情便引起了管理人員的注意，經理們采取了各種方法來挫敗賈格爾的策略，最后賈格爾無法賺更多的錢，便離開了賭場，帶著已經到手的巨款，投資房地產去了。
賭場中的確有極少數的人像賈格爾那樣偶然幸運地賺了一筆，但更多的賭徒是十賭九輸，一直到輸光為止。這其中的原因有兩個：一方面是因為所有賭場游戲的概率設計本來就是以利于賭場為準，讓賭場一方贏的概率為51%，52% ，玩家贏的概率為49%或48% ，如此設計的賭場才能包賺不賠。另一方面，利用賭徒的心態(tài)也是賭博游戲設計者們的拿手好戲。賭徒謬誤便是一種常見的、不符合概率規(guī)則的賭徒錯誤心態(tài)，經常被賭場利用。
賭徒謬誤（The Gambler's Fallacy）
賭徒謬誤的來源是因為將前后互相獨立的隨機事件當成有關聯(lián)而產生的。怎么樣算是獨立的隨機事件呢？比如說，拋硬幣一次，是一個隨機事件。再拋一次，是另一個隨機事件。兩個事件獨立的意思是說，第二次的結果并不依賴于第一次的，互相沒有關聯(lián)。假設硬幣是理想對稱的，將出現“正”記為1，“反”記為0，那么，每次結果為1和0的概率都是1/2。第二次“拋”和第一次“拋”互相獨立，再多“拋”幾次也一樣，每次的“拋丟”事件互相獨立，出現1和0的概率總是“1/2，1/2”，都和第一次一樣。即使硬幣不對稱，比如兩面之概率可能是“2/3，1/3”，也并不會影響每次投丟的“獨立性”，每次得到正面的概率都是2/3，并不受上一次結果的影響。
道理容易懂但有時仍會糊涂。比如說，當你用“公平”硬幣接連拋了5次1，到了第6次，你可能會認為這次“1”出現的概率會更小了（< 1/2），“0”出現的概率更大了（> 1/2）。也有人是逆向思維，認為既然5次都是1，也可能繼續(xù)是1（也被稱為熱手謬誤）。實際上這兩種想法，都是掉進了“賭徒謬誤”的泥坑。也就是說，將獨立事件想成了互相關聯(lián)事件。事實上，一般來說，硬幣每次的結果，并不影響下一次正反的概率，硬幣沒有記憶，不會因為前面5次被拋下時都是正面在上就會加大（或減小）反面朝上的概率。也就是說，無論過去拋出的結果如何，每一次都是第一次，正反出現的幾率都是1/2。另外，還有生男生女的問題，也很容易產生謬誤，比如有對父母接連生了4個女孩兒，就覺得第5個是男孩的可能性增大了。但事實上，第5個是男或女的概率仍然是50%對50%，并不因前面4個都是女兒而改變。這些都是與“賭徒謬誤”類似的迷思。
還有一個笑話：某呆子上飛機時身上帶了個炸彈，問其原因，答曰：飛機上有1個炸彈的幾率是萬分之一，同時有兩人帶炸彈的幾率就是億分之一，我自己帶上一個（絕不爆炸！），便將飛機上有（將爆）炸彈的概率從萬分之一降低到了億分之一！想必你看到這兒，一定會抿嘴一笑。是啊，能不笑嗎？此呆子將“自己帶炸彈”與“別人帶炸彈”的獨立事件視為相關，呆子非賭徒，但這也算是一種賭徒謬誤。
當然，認為每次拋硬幣是互不關聯(lián)的獨立事件，或每一胎生男生女是獨立的，也只是我們描述某些隨機事件所使用的數學模型而已，物理世界中的此類事件并不一定真正獨立。比如說到生男生女的問題，也許有某種與荷爾蒙有關的原因使得前后兩胎的性別有所關聯(lián)，也不是沒有這種可能性的。但是，如果有關聯(lián)，也要明白是如何關聯(lián)的？應該使用何種模型來描述這種關聯(lián)？那是另一種類型的研究課題，而賭徒謬誤指的則是將基本上沒有關聯(lián)的隨機事件，以為有關聯(lián)來考慮問題而產生的謬誤。