數據集中行代表用戶user，列代表物品item，其中的值代表用戶對物品的打分。基于SVD的優勢在于：用戶的評分數據是稀疏矩陣，可以用SVD將原始數據映射到低維空間中，然后計算物品item之間的相似度，可以節省計算資源。
整體思路：先找到用戶沒有評分的物品，然后再經過SVD“壓縮”后的低維空間中，計算未評分物品與其他物品的相似性，得到一個預測打分，再對這些物品的評分從高到低進行排序，返回前N個物品推薦給用戶。
1.加載測試數據集
#coding=utf-8
from numpy import *
from numpy import linalg as la
# 加載測試數據集
def loadExData():
return mat([[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],
[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],
[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]])
2.定義三種計算相似度的方法
分別是歐式距離、皮爾遜相關系數和余弦相似度,
注意三種計算方式的參數inA和inB都是列向量
def ecludSim(inA,inB):
return 1.0/(1.0+la.norm(inA-inB)) #范數的計算方法linalg.norm()，這里的1/(1+距離)表示將相似度的范圍放在0與1之間
def pearsSim(inA,inB):
if len(inA)<3: return 1.0
return 0.5+0.5*corrcoef(inA,inB,rowvar=0)[0][1] #皮爾遜相關系數的計算方法corrcoef()，參數rowvar=0表示對列求相似度，這里的0.5+0.5*corrcoef()是為了將范圍歸一化放到0和1之間
def cosSim(inA,inB):
num=float(inA.T*inB)
denom=la.norm(inA)*la.norm(inB)
return 0.5+0.5*(num/denom) #將相似度歸一到0與1之間
3.通過計算奇異值平方和的百分比來確定將數據降到多少維才合適，返回需要降到的維度
def sigmaPct(sigma,percentage):
sigma2=sigma**2 #對sigma求平方
sumsgm2=sum(sigma2) #求所有奇異值sigma的平方和
sumsgm3=0 #sumsgm3是前k個奇異值的平方和
k=0
for i in sigma:
sumsgm3+=i**2
k+=1
if sumsgm3>=sumsgm2*percentage:
return k
4.在已經降維的數據中，基于SVD對用戶未打分的物品進行評分預測，返回未打分物品的預測評分值
函數svdEst()的參數包含：數據矩陣、用戶編號、物品編號和奇異值占比的閾值，
數據矩陣的行對應用戶，列對應物品，函數的作用是基于item的相似性對用戶未評過分的物品進行預測評分
def svdEst(dataMat,user,simMeas,item,percentage):
n=shape(dataMat)[1]
simTotal=0.0;ratSimTotal=0.0
u,sigma,vt=la.svd(dataMat)
k=sigmaPct(sigma,percentage) #確定了k的值
sigmaK=mat(eye(k)*sigma[:k]) #構建對角矩陣
xformedItems=dataMat.T*u[:,:k]*sigmaK.I #根據k的值將原始數據轉換到k維空間(低維),xformedItems表示物品(item)在k維空間轉換后的值
for j in range(n):
userRating=dataMat[user,j]
if userRating==0 or j==item:continue
similarity=simMeas(xformedItems[item,:].T,xformedItems[j,:].T) #計算物品item與物品j之間的相似度
simTotal+=similarity #對所有相似度求和
ratSimTotal+=similarity*userRating #用"物品item和物品j的相似度"乘以"用戶對物品j的評分"，并求和
if simTotal==0:return 0
else:return ratSimTotal/simTotal #得到對物品item的預測評分
5.產生前N個評分值高的物品，返回物品編號以及預測評分值。
函數recommend()產生預測評分最高的N個推薦結果，默認返回5個；
參數包括：數據矩陣、用戶編號、相似度衡量的方法、預測評分的方法、以及奇異值占比的閾值；
數據矩陣的行對應用戶，列對應物品，函數的作用是基于item的相似性對用戶未評過分的物品進行預測評分；
相似度衡量的方法默認用余弦相似度
def recommend(dataMat,user,N=5,simMeas=cosSim,estMethod=svdEst,percentage=0.9):
unratedItems=nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1] #建立一個用戶未評分item的列表
if len(unratedItems)==0:return 'you rated everything' #如果都已經評過分，則退出
itemScores=[]
for item in unratedItems: #對于每個未評分的item，都計算其預測評分
estimatedScore=estMethod(dataMat,user,simMeas,item,percentage)
itemScores.append((item,estimatedScore))
itemScores=sorted(itemScores,key=lambda x:x[1],reverse=True)#按照item的得分進行從大到小排序
return itemScores[:N] #返回前N大評分值的item名，及其預測評分值
6.測試：對編號為1的用戶推薦評分較高的3件商品
testdata=loadExData()
recommend(testdata,1,N=3,percentage=0.8)
輸出結果：
[(4, 2.388669784821897), (8, 2.386959260544295), (7, 2.3859254004913772)]
