前言
不知道你是否見過這樣的圖：
企鵝分組.png
這是對三組數據的線性回歸，來自經典數據集“帕爾默群島的企鵝”
- 橫軸（bill_depth）表示嘴峰深度。
- 縱軸（bill_length）表示嘴峰長度。
- 不同顏色表示不同種類的企鵝。
在看到這樣的圖時，你是否會有疑問：置信區間為什么會出現兩邊寬，中間窄的情況咧？
我們從線性模型開始
線性模型
假設響應變量和自變量
存在簡單線性關系（兩者可以用最簡單的線性模型描述）：
其中是回歸參數（回歸系數），
是誤差項。
根據這個式子我們可以得到預測值與自變量之間的關系：
最小二乘估參數
- 定義殘差
如果我們找到一條直線，使得每個預測值和實際值之間的差的平方和（或者絕對值、正負項和）最小，也就是殘差平方和最小， 此時的直線最接近實際的數據，由此而來只需要計算殘差平方和（residual sum of squares ,RSS），并求其取最小值時的， 即可找到擬合直線，前人已經計算過了，使RSS最小的參數估計值是：
置信區間
某一個預測值的置信區間
（confidence interval）可以用以下的式子表達：
其中某一個預測值的標準誤差
（standard error）可以用以下的式子表達：
其中：
-
是殘差的標準誤。
-
是樣本大小。
-
是自變量的均值。
-
是特定的自變量。
合在一起就得到了預測值置信區間的表達式：
結論
由上式可知當取到
附近時，
逐漸變小，使得偏差部分整體變小，那么此時的置信區間就會變小，反映在圖上就是中間窄、兩邊寬了；
還有一種直觀的理解是：左側點對右側預測值的影響沒有那么大，右側點對左側預測值的影響也沒有那么大，但是兩邊的點都會為預測中間的值作出貢獻，因此中間的預測值實際上是在獲得了更多信息（兩側的點）后預測得到的，加上回歸直線一定會過點，所以預測中間值的信心就很足，置信區間就窄一點。
