今天，在某Python群里，看到有一個問題，看似簡單，其實挺難的。題目如下：

小易總是感覺饑餓，所以作為章魚的小易經(jīng)常出去尋找貝殼吃。
最開始，小易在一個初始位置x_0。
對于小易所處的當(dāng)前位置x，它只能通過神秘的力量移動到4x+3或者8x+7。
因為使用神秘力量要耗費太多的體力，所以它只能使用神秘力量最多100,000次。貝殼總生長在能被1,000,000,007整除的位置（比如：位置0，位置1,000,000,007，位置2,000,000,014等）。
小易需要你幫忙計算最少需要使用多少次神秘力量就能吃到貝殼。

分析

設(shè)小易當(dāng)前位置為x_n，使用神秘力量移動以后的位置為x_(n+1)

兩個步長函數(shù)

首先對這兩個步長函數(shù)作一下變形：

1.jpg

由此可得

2.jpg

在看下面的分析之前，需要理解一個知識，這里簡單舉例說明

第一種走法：
4x+3，8x+7，4x+3
第二種走法：
4x+3，4x+3，8x+7
是完全一樣的，

這里我想說明的是，從初始位置開始，小易到達的最終位置只跟4x+3的次數(shù)和8x+7的次數(shù)有關(guān)系，與先走哪個沒有關(guān)系

假設(shè)小易到達目標(biāo)位置

所需的4x+3的次數(shù)為m次，此時到達的位置為x_m

3.jpg

所需的8x+7的次數(shù)為n次，此時的位置為目標(biāo)位置x_(m+n)

4.jpg

將上述兩個式子寫成一個

5.jpg

由此可知，4x+3所需次數(shù)m，8x+7所需次數(shù)n，初始位置x_0，最終位置x_(m+n)滿足如下關(guān)系

6.jpg

m 為4x+3的次數(shù)， n 為8x+7的次數(shù)， x_0 為初始位置，x_(m+n)為最終的目標(biāo)位置

而且由題目中的條件，小易應(yīng)該用最少的次數(shù)，因此綜合上述分析，本題實際為如下的最優(yōu)化問題

7.jpg

由上述的分析，可知

8.jpg

(x_(m + n) + 1) / (x_0 + 1) = 2的某個指數(shù)冪

的時候，小易才可以從初始位置，到達目標(biāo)位置，否則永遠不可能到達。因此這也是題目中設(shè)置一個給定次數(shù)100000，判定程序結(jié)束的條件。

至此，從數(shù)學(xué)的角度本題已經(jīng)分析完了，剩下的就是 擼代碼。

import random
from math import log
import re
x0 = random.randint(1, 1000000006)
x0 = 125000000
k = 1
target = 1000000007

def get_m_n(sum, k):
    m_n = []
    m_max = sum // 2
    n_max = sum // 3
    min_c = m_max + n_max
    for n in range(n_max + 1):
        m = (sum - 3 * n) // 2
        if 2 * m + 3 * n == sum:
            if m + n <= min_c:
                m_n.append((m, n))
                min_c = m + n
    # print(m_n)
    print(f'初始位置為：{x0}，目標(biāo)位置為：{k}倍距離，{k * target}')
    print(f'最少次數(shù)為：{min_c}')
    for i, j in m_n:
        print(f'4x+3走{i}次，8x+7走{j}次')
        
while 1:
    t = k * target
    sum = log((t + 1) / (x0 + 1), 2)
    # print(sum)
    if sum >= 2.0 and re.findall('\d+\.0$', str(sum)):
        get_m_n(int(sum), k)
        break
    elif k == 100000:
        print('沒有找到')
        break
    k += 1