作者：王垠
原文鏈接：http://www.yinwang.org/blog-cn/2019/07/21/pnp2
好幾年前曾經寫過一篇文章表達對計算機科學里著名的 “P vs NP” 問題的看法。當時正值我人生中第 N 次研究那些東西，由于看透了卻不在乎，所以寫得特別簡略。沒想到有人看到后，還以為我沒仔細學過復雜度理論，說我信口開河。我一般懶得談論這種太理論的問題，身邊也很少有人關心，所以后來干脆把文章撤了。不是我說的有什么不對，而是我懶得跟人爭論。
沒想到最近又遇到有人抓住我刪掉的文章，乘機拿出來貶損我，盡其羞辱之能力。說王垠你太自以為是了，你知不知道“P vs NP”要是解決了，世界將有天翻地覆的變化，多少的計算難題會被解決，機器學習都沒必要了，非對稱加密全都被破解…… 跟上課似的頭頭是道滔滔不絕，幾乎把他本科算法課本上的內容給我背了一遍，以為別人不知道一樣，卻沒有顯示出任何他自己的思想。
呃，我真是服了某些人背書冒術語的能力，難怪能做國內某大廠的 P10（注：不是我的在職公司）。鑒于很多人對此類問題的一知半解，反倒嘲笑別人不懂，牛逼轟轟打壓其他人，我決定事后把這個問題再詳細講一下，免得以后還要為它費口舌。
對于初學者這篇文章有點門檻，需要學習一些東西。“P vs NP” 問題屬于計算理論（Theory of Computation）的一部分——復雜度理論。計算理論不止包括復雜度理論（Complexity），還包括可計算性（Computability），也就是“停機問題”一類的內容。
國內大學的計算機教學一般在算法課上對復雜度理論有初級的講授，但很少人能夠真的理解。如果你沒有系統的學習過復雜度理論，我建議你研讀一下計算理論的專著（而不是普通的算法教材），比如 Michael Sipser 的『Introduction to the Theory of Computation』。
我當年在 Indiana 做研究生計算理論課助教的時候，可算是把這書給看透了…… 被逼的。其中“可計算性理論”在我將來的 PL 研究中起了比較大的啟發作用，而復雜度理論的用處一般。我覺得 Sipser 的書寫的不夠清晰透徹，但很多學校拿它做教材，好像也沒有其它特別好的替代品。
計算理論如此晦澀難懂，我認為圖靈機是禍首。如果你能理解 lambda calculus，將會大大簡化理解計算理論的過程。如果你想用更深刻更容易的方法理解計算理論，可以參考這篇文章的“Lambda 演算與計算理論”一節，里面會提到另一本參考書。從這篇文章你也可以看出來，我絲毫不崇拜圖靈。
“P vs NP” 真的重要嗎？
“P vs NP” 這個問題有它的理論價值，它是有趣的問題，里面的有些思路有啟發意義，值得花些時間來了解。但計算機科學界長久以來都嚴重夸大它的重要性，把一個很普通的問題捧上了天，吹得神乎其神。
再加上圖靈機模型在計算理論界的廣泛使用，使得這門學問顯得異常艱深。很多人看到圖靈機就暈了，在課程上蒙混過關，考試完了就全忘了，根本無法理解里面的實質內容。正是因為很多人的不明覺厲，使得“P vs NP”登上了它在 CS 界的寶座。
很多人做了一輩子計算機工作，做了很多巧妙的設計構架，寫了許許多多的代碼，解決了很多性能難題。提到“P vs NP”，雖然一輩子都沒用上這個理論，仍然頂禮膜拜。由此可見“不明覺厲”對于人們心理的威力。
很多人認為“P vs NP”是計算機科學最重要的問題。Clay 數學研究所甚至懸賞一百萬美元解決這個問題，把它叫做數學界的 7 個千年難題之一，跟黎曼猜想并列其中。
好幾次有人聲稱解決了“P vs NP”，上了新聞，鬧得輿論沸沸揚揚，小編們吹得好像世界要天翻地覆了一樣，把他們追捧為天才苦行僧，后來卻又發現他們的結果是錯的……
如果你真的理解了“P vs NP”的內涵，就會發現這一切都是鬧劇。這個問題即使得到解決，也不能給世界帶來很大變化。解決這個問題對于現實的計算，作用是微乎其微的。不管 P 是否等價于 NP，我們遇到的計算問題的難度不會因此有重大改變。
甚至有些數學家認為“P vs NP” 根本沒有資格跟黎曼猜想一起并列于“千禧年問題”。我倒是希望有人真的解決了它，這樣我們就可以切實的看到這有什么意義。
“P vs NP” 也許不是愚蠢的問題，但計算機科學界幾十年以來夸大它的重要性的做法，是非常愚蠢的，讓整個領域蒙羞。
真正重要的數學問題被解決，應該對現實世界具有強大的作用。這種作用可以是“潛在的”，它的應用可以發生在很久以后的將來，但這必須能夠被預見到。數學家們把這叫做“applicable result”（注意不叫 applied 或者 practical）。否則這個數學問題就只能被叫做“有理論價值”，“有趣”，而不能叫做“重要”。即使所謂“純數學”，也應該有可以預見的效果。
很多數學家都明白黎曼猜想（Riemann hypothesis）的重要性。大數學家希爾伯特說過：“如果我沉睡了三千年醒過來，我的第一句話會是‘黎曼猜想被解決了嗎？’” 假設希爾伯特還在世，他會對解決“P vs NP”有同樣的渴望嗎？我覺得不會。實際上，很多數學家都覺得“P vs NP”的重要性根本沒法和黎曼猜想相提并論，因為我們預見不到它會產生任何重要的效果。
什么是多項式時間？
很多人提到“P vs NP”就會跟你吹噓，P 如果等于 NP，世界將有天翻地覆的變化。許許多多我們以前沒法辦到的事情，都將成為現實。非對稱加密技術會被破解，生物化學將得到飛躍，機器學習將不再有必要……
這些人都忽略了一個重要的問題：什么是多項式時間。盲目的把“多項式”等同于“容易”和“高效”，導致了對 “P vs NP” 重要性的嚴重夸大。
n100 是不是多項式？是的。n1000000 也是多項式。n100100 也是多項式，n100100100 也是多項式…… 實際上，只要 n 的指數是常數，它就是一個多項式，而 n 的指數可以是任意大的常數！n 的指數可以是任意大的常數！n 的指數可以是任意大的常數！重要的事情說三遍。
時間復雜度 n100100100 的算法，能用嗎？所以即使 P=NP，你需要的計算時間仍然可以是宇宙毀滅 N 次，其中 N 是任意的常數。
說到這里，又會有人跟我說你不懂，當 n 趨近于無窮的時候，非多項式總會在某個時候超越多項式，所以當 n “足夠大”的時候，多項式時間的算法總是會更好。很可惜，“無窮”對于現實的問題是沒有意義的。任何被叫做“重要”的問題，都應該在合理的時間內得到結果。
我們關心的要點不應該是“足夠大”，而是“具體要多大”。精確的量化，找到實際可以用的區間，這才是合格的科學家該有的思路。計算機科學里，大 O 表示法泛濫成災，只看最高次冪，忽略系數和常數項，也是常見的誤區。我也曾經沉迷于如何把 O(n3) 的算法降低到 O(n2.9)，現在回頭才發現當年是多么的幼稚。
“多項式時間”這個概念太寬泛太籠統。以如此籠統的概念為基礎的理論，不可能對現實的計算問題產生意義。我們關心的不應該僅僅是“是否多項式”，而是“具體是什么樣的多項式”。6n20 + 26n7 + 200，1000n3 + 8n2 + 9，…… 每一個多項式的曲線都是很不一樣的，在各個區間它們的差別也是不一樣的。多項式的冪，系數，常數項，它們的不同都會產生重大的差異。
這就是為什么“P=NP”沒有很大意義，因為 P 本身太籠統，其內部的差異可以是天壤之別。與其試圖籠統的證明 P 等價于 NP，還不如為具體的問題想出實質意義上高效的算法，精確到冪，系數，常數項。
更進一步看，這些“復雜度”的數學公式，不管是多項式還是指數，不管你的冪，系數常數項有多精確，終究難以描述現實系統的特性。物理的機器有各種分級的 cache，并行能力，同步開銷，傳輸開銷，各種瓶頸…… 最后你發現性能根本無法用數學公式來表達，它根本不是一個數學問題，而是一個物理問題，工程問題。這就像汽車引擎的功率一樣，只有放到測試設備（Dyno）上面，通過系統的測量過程才能得到。
有些理論家喜歡小看“工程”，自以為會分析復雜度就高高在上的樣子，而其實呢，工程和物理才是真實的。數學只是粗略描述物理和工程的工具。
P!=NP 有意義嗎？
“P vs NP”問題有兩種可能性：P=NP（等價），或者 P!=NP（不等價）。以上我說明了 P=NP 的意義不大，那么要是 P!=NP 呢？
很多人會跟你說，要是一個問題是 NP-Hard，然后又有 P!=NP，那么我們就知道這個問題沒有多項式時間的算法存在，就避免了為多項式時間算法浪費時間了。這不也有一些價值嗎？
我并沒有否認 P!=NP 是有那么一點價值：在某些時候它也許避免了浪費時間。但這種價值比較小，而且它具有誤導性。
一個常見的 NP-Hard 問題是 SAT。如果 P!=NP，那么大家就應該放棄為它找到高效的算法嗎？如果大家都這樣想，那么現在的各種高效的 SAT solver 就不存在了。實際上，利用隨機算法，我們在大多數時候都能比較快的解決 SAT 問題。
問題在于，“P vs NP”關心的只是“最壞情況”，而最壞情況也許非常罕見。有些問題大部分實際的情況都可以高效的解決，只有少數變態的情況會出現非常高的復雜度。為了這少數情況放棄大多數，這就是“P vs NP”的誤導。
如果因為 P!=NP，你認為 NP-Hard 的問題就沒有高效的算法，那你也許會誤以為你可以利用這些“難題”來做非對稱加密。然而 NP-Hard 并不等于沒法快速解決，所以要是你因此被誤導，也許會設計出有漏洞的加密算法。
即使 P!=NP，我們仍然不能放棄尋找重要的 NP-Hard 問題的高效算法，所以確切的證明 P!=NP 的價值也不是那么重要了。其實你只要知道 P=NP “大概不可能”，就已經能起到“節省時間”的目的了。你沒必要證明它。
什么是 NP？
這一節我來講講“P vs NP”里的“NP”到底是什么。內容比較深，看不懂的人可以跳過。
很多人都沒搞明白 NP 是什么就開始夸夸其談“P vs NP”的價值。 經常出現的錯誤，是把 NP 等同于“指數時間”。實際上 NP 代表的是“Nondeterministic Polynomial time”，也就是“非確定性圖靈機”（nondeterministic Turing machine）能在多項式時間解決的那些問題。
什么是“非確定性圖靈機”？如果你把課本上那堆圖靈機的定義看明白看透了，然后又理解了程序語言理論，你會發現所謂“非確定性圖靈機”可以被很簡單的解釋。
你可以把我們通常用到的程序看作是“確定性圖靈機”（deterministic Turing machine）。它們遇到條件分支，在同一個時刻只能走其中一條路，不能兩邊同時探索。
那么“非確定性圖靈機”呢？你可以把“非確定性圖靈機”想象成一個具有“超能力”的計算機，它遇到分支語句的時候，可以同時執行 True 和 False 兩個分支。它能夠同時遍歷任意多的程序分支，這是一臺具有超能力的機器！
所以“P vs NP”的含義大概就是這樣：請問那些需要非確定性圖靈機（超能力計算機）在多項式時間才能解決的問題，能夠用確定性圖靈機（普通計算機）在多項式時間解決嗎？
現在問題來了，具有如此超能力的機器存在嗎？答案當然是“No！” 就算是量子計算機做成功了，也不可能具有這樣的計算能力。沒有人知道如何造出非確定性圖靈機，人們沒有任何頭緒它如何能夠存在。
所以 “P vs NP” 這個 問題的定義，是基于一個完全假想的機器——非確定性圖靈機。既然是假象的機器，為什么一定要是“非確定圖靈機”呢？為什么不可以是其它具有超能力的東西？
仔細想想吧，“非確定性圖靈機”對于現實的意義，就跟 Hogwarts 魔法學校和哈利波特對于現實的意義一樣。我們為什么不研究“P vs HP”呢，其中 H 代表 Harry Potter。HP 定義為：哈利波特能夠在多項式時間解決的問題。
“P vs NP”問題：請問那些需要非確定性圖靈機（超能力計算機）在多項式時間才能解決的問題，能夠用確定性圖靈機（普通計算機）在多項式時間解決嗎？
“P vs HP”問題：請問那些需要哈利波特在多項式時間才能解決的問題，能夠用確定性圖靈機（普通計算機）在多項式時間解決嗎？
我不是開玩笑，仔細回味一下 “P vs NP” 和 “P vs HP” 的相似性吧。也許你會跟我一樣意識到 NP 這個概念本身就是虛無的。我不明白“一個不存在的機器能在多項式時間解決的問題”，這樣的說法有何意義，基于它的理論又有什么科學價值。
非確定性圖靈機存在的意義，也許只是因為它可以被證明等價于其它一些常見的問題，比如 SAT。計算理論書籍一般在證明 SAT 與 非確定性圖靈機等價性之后，就完全拋掉了非確定性圖靈機，之后的等價性證明都是通過 SAT 來進行。
我覺得 NP 這個概念其實是在故弄玄虛。我們完全可以從 SAT 本身出發去發展這個理論，而不需要設想一個具有超能力的機器。我們可以有一個問題叫做“P vs SAT”，而不出現 NP 這個概念。
（有點扯遠了）
其它質疑 P vs NP 價值的人
有人認為我質疑 P vs NP 的價值是一知半解信口開河，然而我并不是第一個質疑它的人。很多人對 P vs NP 都有類似的疑惑，但因為這個問題的地位如此之高，沒人敢站出來。只要你開口，一群人就會居高臨下指責你基礎課程沒學好，說你眼界太窄…… 再加上那一堆紛繁復雜基于圖靈機的證明，讓你有苦說不出。
由于這個原因，我從來沒敢公開表達我的觀點，直到我發現 Doron Zeilberger 的這篇文章。Zeilberger 是個數學家，Rutgers 大學的數學系教授。在那之前他開了個玩笑，戲稱自己證明了 P=NP，還寫了篇像模像樣的論文。在文章里他告誡大家：不要愛上你的模型（Don’t Fall In Love With Your Model）。他這句話說到了我心里。
你還能在網絡上找到其它人對“P vs NP”的質疑，比如這篇來自于一位專門研究計算理論的學者：
? Is P=NP an Ill Posed Problem?
我覺得他講的也很在理。正是在這些人的鼓舞之下，我隨手寫出了之前對“P vs NP” 的質疑。只言片語里面，融入了我多年的深入學習，研究和思考。
總結
看這篇文章很累吧？我寫著也累。對于我來說這一切都已經那么明了，真的不想費口舌。但是既然之前已經說出來了，為了避免誤解，我仍然決定把這些東西寫下來擺在這里。如果你暫時看不懂可以先放在一邊，等到了需要深入研究計算理論，想得頭痛的時候再來看。你也許會感謝我。
我希望嚴謹的計算機科學工作者能夠理解我在說什么，反思一下對“P vs NP”的理解。計算機專業的學生應該理解“P vs NP”理論，但不必沉迷其中。這并不是一個值得付出畢生精力去解決的問題。計算機科學里面還有其它許多有趣而重要的問題需要你們去探索。如果你覺得計算機科學都不過癮，你可以去證明黎曼猜想啊 :)
當然所有這些都是我的個人觀點，我沒有強求任何人接受它們。強迫別人接受自己的觀點是不可以的，但想阻止別人表達對此類問題的質疑，也是不可以的，因為我們生活在自由的世界。
沒人想搶走你們的玩具，但不要忘了，它只是玩具。
