本章涉及知識點

1、前言

2、質量的定義

3、能量的定義

4、經典力學—動能定理的數學推導

5、狹義相對論—質能方程的數學推導

6、質能方程的物理意義

7、質能方程從狹義相對論回到經典力學

8、案例解析

一、前言

繼寫完《狹義相對論的數學推導》和《狹義相對論的兩個時空效應》兩篇文章后，一直想把愛因斯坦留給后人在其狹義相對論里最著名的質能方程也做一個推導

在經典力學的世界觀中，物體的能量和質量是兩個完全不同的概念；而在狹義相對論的世界觀中，愛因斯坦將能量的概念做了推廣并得出了質量和能量準確的數學關系—質能方程

質能方程

二、質量的定義

考慮如下實驗場景：

我們用同樣大小的力F施加到兩個不同的靜止物體m1和m2上，目的是使得這兩個物體達到相同的加速度a，花費的時間也就不同，顯然，由于物體初始狀態都是靜止的，耗時較長的物體表明它具有較大的慣性；而耗時較少的物體表明它具有較小的慣性

由于在相同力的作用下，根據牛頓第二定律

牛頓第二定律

物體的加速度和它的質量成正比，因此可以得出：物體的質量可以度量物體的慣性，即

（1）質量用來描述物體慣性大小的物理量

（2）質量決定受力物體運動狀態變化的難易程度

三、能量的定義

在物質的一切物理屬性中，運動是其最基本的屬性，世間萬物均在不停運動（包括宏觀世界里的人，或微觀世界里的電子），例如星球的公轉周期、火車的行使速度、雨滴的下落距離、風車的轉動頻率、電子的自旋特征等，這些所有物質的不同物理屬性，都可以用運動來具體表示

物質因其運動而有了能量，即

（1）能量是物質運動所轉換的量度

（2）能量是表征物理系統做功的本領

能量的形式包括：力學的動能、勢能、重力勢能、彈性勢能、引力勢能、化學能、熱能、電能、核能等

四、經典力學—動能定理的數學推導

動能屬于能量的一種，指物體因運動而所具有的能量

我們考慮其一般形式，一個物體在合外力F的作用下，從靜止狀態運動到速度達到v的這個運動過程中，其動能Ek的表達式寫為：

動能的表達式

我們將合外力F和位移的微元dx均寫為速度v的形式，且在經典力學中，物體的質量m是一個常量，即可推導出動能定理的數學表達式為：

動能定理

動能定理適用于恒力、變力、分段、全程做功等，可以用來定量的描述物體在運動過程中，合外力F因運動做功所帶來的動能變化量，但是依舊沒能描述出能量和質量的數學關系，這二者在經典力學里還是沒有關聯

五、狹義相對論—質能方程的數學推導

接下來我們從狹義相對論的世界觀里，來尋找能量和質量的數學關系，仍然從動能的基本表達式出發

動能的表達式

這里我們將合外力F寫為動量P對時間t的導數，即

動量對時間的導數

位移dx寫為速度v的形式，即

位移的速度形式

將上面兩個式子帶入動能的表達式，得

動能的表達式

這里速度v和動量P都是變量，由分部積分法，得

動能的表達式

由狹義相對論知識，物體運動的質量m和其靜止的質量m0之間的關系為

運動的質量m

結合動量P的定義為

動量P的定義

將P帶入動能的表達式，得

動能的表達式

上述表達式里定積分的函數原型為

上述表達式里定積分的原型

帶入求解定積分原型，得

動能的表達式

而上述表達式的第一項，就完整包含了狹義相對論中物體運動中的質量表達式，則上述方程寫為

狹義相對論的動能

至此我們得到了在狹義相對論的世界觀中，動能Ek的數學表達式

因為在狹義相對論世界觀里，一切物理屬性具有相對性效應，所以物體靜止時也具有能量，我們稱之為靜能，其表達式E0為

狹義相對論的靜能

我們設E來表示物體在運動總過程里所具有的的總能量，則E的表達式為其靜能和動能之和，即

狹義相對論的總能量

至此，我們就得到了物體在運動過程中，總能量E和質量m的關系—質能方程

六、質能方程的物理意義

由上述推導出的質能方程表達式，我們可以看到

（1）在狹義相對論中，能量和質量有了確定的數學關系

（2）靜止的物體，也具備其固有的能量（靜能）

（3）質量可以轉化為純能量

其中第三點，我們可以計算出，每一千克的質量，就可以釋放出9×10^16焦耳的能量，相當于2100萬噸的TNT爆炸所釋放出的能量

每一千克的質量釋放出的能量

質能方程可以通過測量不同原子核的質量，估算出原子核所包含的結合能的能量值，即側面有效的估算出了輕核的核聚變和重核的核裂變所釋放的結合能，可見質能方程對原子彈的發展起到至關重要的作用！

七、質能方程從狹義相對論回到經典力學

接下來我們來證明，在經典力學的世界觀里，從狹義相對論推導出的質能方程仍然適用

在經典力學里，有

經典力學條件

由于在經典力學里，質量是一個常量，與物體是否運動無關，則我們從質能方程的動能表達式里，沒有化簡出運動質量的表達式出發，即

質能方程的動能表達式

我們將上式改寫為

質能方程的動能表達式

觀察上式，存在一個冪次項

待泰勒展開的冪次項

由于冪次項很難計算，因此我們用多項式擬合函數的知識，構造這個冪次項的冪函數原型為

冪次項的數學原型

我們對f(x)進行在零點的泰勒展開，得

f(x)在零點的泰勒展開

可以看到f(x)屬于遞增函數，我們將a=-1/2, x=-v^2/c^2帶入，得

冪次項的泰勒展開

我們取多項式的前兩項來近似這個冪次項結果，即

冪次項的近似表示

將冪次項的近似值帶入動能的表達式，得

經典力學中質能方程的動能

這正是經典力學中的動能表達式，至此，我們可以看出：

經典力學是相對論在低速情況下的近似表現

八、案例解析

最后我們來看一個案例

太陽內部持續不斷地發生著四個質子（氫核）聚變一個α粒子，同時發射兩個正電子和兩個沒有靜止質量的中微子的核反應，這個核反應釋放出的大量能量就是太陽的能源，已知：mp＝1.0073u，mα＝4.0015u，me＝0.00055u，求：

（1）太陽每一次聚變所釋放的能量？

（2）已知太陽每秒釋放能量為3.8×10^26J，則太陽每秒減少的質量為多少千克？

解(1)：

一個原子的單位質量為碳12原子質量的1/12，用u來表示，即

一個原子的單位質量u

則根據質能方程，1u釋放的能量為

1u釋放的能量

將其化為MeV為單位，即

1u釋放的能量

則太陽每一次核反應的質量虧損為

太陽每一次核反應的質量虧損為

由質能方程計算出太陽每一次聚變所釋放的能量為

太陽每一次聚變所釋放的能量

解(2)：

由質能方程計算出太陽每一秒減少的質量為

太陽每一秒減少的質量